NKOI 3711 摆花

背景及描述

艺术馆门前将摆出许多花，一共有n个位置排成一排，每个位置可以摆花也可以不摆花。有些花如果摆在相邻的位置（隔着一个空的位置不算相邻），就不好看了。假定每种花数量无限，求摆花的方案数。

输入格式

输入有1+m行，第一行有两个用空格隔开的正整数n、m，m表示花的种类数。接下来的m行，每行有m个字符1或0,若第i行第j列为1，则表示第i种花和第j种花不能排在相邻的位置，输入保证对称。（提示：同一种花可能不能排在相邻位置）。

输出格式

输出只有一个整数，为方案数（这个数字可能很大，请输出方案数除以1000000007的余数）。

样例输入

2 20110

样例输出

7

样例说明

七种方案为(空，空)、（空，1）、（1、空）、（2、空）、（空、2）、（1,1）、（2,2）。

数据范围与约定

• 20%的数据，1＜n≤5,0＜m≤10。
• 60%的数据，1＜n≤200,0＜m≤100。
• 100%的数据，1＜n≤1000000000，0＜m≤100。

这道题是一道动规题，我们用f[i][j]表示摆好前i个位置且第i个位置放置第j种花，我们可以用j==0表示不放花的情况，并用map[x][y]=1表示x,y花可以放在一起

于是可以得到方程：f[i][j]=sum{f[i-1][k]}

不过根据数据范围，暴力dp肯定会超时，我们注意到m的值很小，因此可以考虑用矩形乘法来优化

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#define LL long longusing namespace std;const LL mod=1000000007;LL n,m,c[101],u[101];typedef LL arr[101][101];arr ans,z,map;void cheng(arr y,arr x){memset(z,0,sizeof(z));LL i,j,k;    for(i=0;i<=m;i++)       for(j=0;j<=m;j++)          for(k=0;k<=m;k++)             z[i][j]=(z[i][j]+y[i][k]*x[k][j])%mod;    memcpy(y,z,sizeof(z));}void cao(LL y[],arr x){memset(u,0,sizeof(u));LL i,k;    for(i=0;i<=m;i++)          for(k=0;k<=m;k++)             u[i]=(u[i]+y[k]*x[i][k])%mod;    memcpy(y,u,sizeof(u));}void mb(LL b){LL i,j;for(i=0;i<=m;i++)ans[i][i]=1;    while(b){    if(b&1)cheng(ans,map);        b>>=1;        cheng(map,map);    }}int main(){LL i,j,sum=0;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=m;i++)for(j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&map[i][j]);map[i][j]=1-map[i][j];}for(i=0;i<=m;i++)map[i][0]=map[0][i]=1;mb(n);c[0]=1;cao(c,ans);for(i=0;i<=m;i++)sum=(sum+c[i])%mod;cout<<sum;}