BZOJ 2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose) (莫队)

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

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Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

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Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

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Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

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Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15

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HINT

【样例解释】

询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

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Source

版权所有者：莫涛

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题解

这题是莫队算法的果题，这也是我这个蒟蒻第一次写莫队算法。一开始听那些神犇说起时觉得它很高级，编写过后才发现它如此简洁和强大，引用网上它的话来说就是

一个优雅的暴力

据说莫队算法是前国家队队长莫涛神犇发明的，所以尊称莫队算法。（无限%）
众所周知，有些问题是线段树之类的数据结构无能为力的，于是我们就有了O(nn√) 的离线算法——莫队。
莫队的基础在于离线操作和对询问排序。如果我们已知[l,r]的答案，能在O(1)时间得到[l+1,r],[l,r-1],[l-1,r],[l,r+1]的答案，即可使用莫队算法。
如果我们适当安排顺序，那时间复杂度为O(n1.5)。

“如果只能在logn的时间移动区间，则时间复杂度是O(n^1.5*log n)。”

【此处引自hzwer黄学长的博客】

如果我们把每个询问看做二维平面上的一个点，那么如果我们对这个东西以曼哈顿距离做最小生成树，那么沿着树上的边处理询问一定是最优解。为什么呢？如果已知[l,r]的答案，要求[l’,r’]的答案，我们要通过|l – l’|+|r – r’|次转移求得。于是同样处理所有的询问，L，R指针移动的总次数少了，总时间复杂度就会降低。

但是，这么难些怎么办？我们可以直接用分块+暴力将其替代。
我们先将所有数分为n√ 块。
我们把所有的询问排序，第一关键字为左端点所在块的编号，第二关键字为右端点的编号。
然后直接暴力处理所有询问。这样的时间是O(nn√) 的，询问次数m看成与其同级的n吧。
那为甚么是这个时间呢？黑人问号脸？

再次引用黄学长的话：

1、i与i+1在同一块内，r单调递增，所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
2、i与i+1跨越一块，r最多变化n，由于有n^0.5块，所以这一部分时间复杂度是n^1.5
3、i与i+1在同一块内时l变化不超过n^0.5，跨越一块也不会超过n^0.5，忽略*2。由于有m次询问（和n同级），所以时间复杂度是n^1.5
于是就是O(n^1.5)了

ORZ。

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最后谈谈莫队的写法。分块对询问排序后直接硬做。
一开始初始化两个指针l,r，然后移动l，r来统计答案。注意对于这题我们要特判l，r重叠的情况。在r右移或l左移时由于是闭区间要先移动再记录新的信息，在r左移或l右移时区间变小我们先删去旧的信息再维护新的信息。还有就是要先处理右指针再处理左指针，让r<l了就可能会出错。
题目的具体处理并不难请自行思考，这里只讲关于莫队的一些内容。具体细节参见代码。

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代码(有注释哦)

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <cmath>#define N 50010using namespace std;typedef long long LL;int n, m, seq[N];int block;LL cnt[N], Ansx[N], Ansy[N];struct Query{    int num;    int l, r;    bool operator < (const Query &q) const{//多关键字排序      if(l/block == q.l/block)  return r < q.r;      return l/block < q.l/block;    }}q[N];LL gcd(LL a, LL b){    if(!b)  return a;    return gcd(b, a % b);}void Insert(LL& res, int p){   //区间扩大，又一只袜子进入区间，将其个数+1，并维护其个数的平方    res -= cnt[p] * cnt[p];    cnt[p] ++;    res += cnt[p] * cnt[p];}void Remove(LL& res, int p){//区间缩小，将袜子丢出去并维护cnt[]，res    res -= cnt[p] * cnt[p];    cnt[p] --;    res += cnt[p] * cnt[p];}int main(){    scanf("%d%d", &n, &m);    block = sqrt(n);//块数    for(int i = 1; i <= n; i++)  scanf("%d", seq+i);    for(int i = 1; i <= m; i++){      scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);      q[i].num = i;    }    sort(q+1, q+m+1);    int l = 1, r = 1;//初始化指针    LL res = 1;    cnt[seq[1]] ++;//直接先算上第一只袜子    for(int i = 1; i <= m; i++){      if(q[i].l == q[i].r){//特判        Ansx[q[i].num] = 0;  Ansy[q[i].num] = 1;        continue;      }      while(r < q[i].r)  Insert(res, seq[++r]);//暴力过程      while(r > q[i].r)  Remove(res, seq[r--]);      while(l < q[i].l)  Remove(res, seq[l++]);      while(l > q[i].l)  Insert(res, seq[--l]);      LL a = res - (q[i].r - q[i].l + 1ll), b = (q[i].r - q[i].l + 1ll) * (q[i].r - q[i].l), c = gcd(a, b);      Ansx[q[i].num] = a / c;  Ansy[q[i].num] = b / c;      //统计答案并化简    }    for(int i = 1; i <= m; i++)      printf("%lld/%lld\n", Ansx[i], Ansy[i]);    return 0;} 如何计算答案？组合数，区间中每种颜色袜子取2只的情况总数除以r-l+1取2的总数。化简后得到[a^2+b^2+c^2+...-(r-l+1)]/[(r-l)*(r-l+1)]a,b,c等分别为出现的各种颜色的袜子数量。(r-l)等于零特判的原因。。

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