数据结构 -- 并查集

        时间过得真快，一眨眼集训第二周就要结束了。有很长的第一段时间没有写算法类的博客了。今天先来一篇 --- 并查集。

1、什么是并查集

       并查集(Union Find)是一种用于管理分组的数据结构。它具备两个操作：(1)查询元素a和元素b是否为同一组   (2) 将元素a和b合并为同一组。

注意：并查集不能将在同一组的元素拆分为两组。

2、并查集的结构

      并查集可以使用树来实现。

       使用树形结构来表示以后，每一组都对应一棵树，然而我们就可以将这个问题转化为树的问题了，我们看两个元素是否为一组我们只要看这两个元素的根是否一致。显然，使用树形结构将问题简单化了。合并时是我们只需要将一组的根与另一组的根相连即可。

3、并查集的实现

       我们通过以上的思路，现在就可以具体来实现并查集了，代码如下：

int node[i]; //每个节点//初始化n个节点void Init(int n){    for(int i = 0; i < n; i++){        node[i] = i;    }}//查找当前元素所在树的根节点(代表元素)int find(int x){    if(x == node[x])        return x;    return find(node[x]);}//合并元素x， y所处的集合void Unite(int x, int y){    //查找到x，y的根节点    x = find(x);    y = find(y);    if(x == y)         return ;    //将x的根节点与y的根节点相连    node[x] = y;}//判断x，y是属于同一个集合bool same(int x, int y){    return find(x) == find(y);}

       有了这些知识，我们就可以来解决一些问题了。先上两道并查集的水题：畅通工程，How many Tables？

4、并查集的优化

        细心的同学会发现，我们使用以上的代码来实现并查集，会出现一个问题  ---  树的退化。在树形数据结构中，如果发生退化，那么复杂度将会变得很高(最惨的是直接退化成线性结构)。因此我们必须设法，阻止这种退化。为此我们这里有两种方法。

<1>对于每一棵树，我们记录它的高度(rank)。在每次合并操作时，将高度小的树 放在 高度高的树下，成为它的子树:

      通过这样处理之后，可以有效的防止树的退化，但是查询效率还不够快，于是我们有提出了第二种优化方案。

<2>路径压缩

      我们将原先间接与根相连的节点，让它与根直连，这样效率又可以大大的提高了：

      我们在第一次查询时，进行这步操作，当再次查询时，就大大提高了效率。

5、并查集的复杂度

      加入这两个优化之后，并查集的效率就非常高。对n个元素的并查集操作一次的复杂度是： O(α(n))。这里，α(n)是阿克曼(Ackermann)函数的反函数。效率要高于O(log n)。

不过这里O(α(n))是平均复杂度。也就是说，多次操作之后平均复杂度为O(α(n))，换而言之，并不是每一次操作都满足O(α(n))。

6、优化后的并查集实现

int node[i]; //每个节点int rank[i]; //树的高度//初始化n个节点void Init(int n){    for(int i = 0; i < n; i++){        node[i] = i;        rank[i] = 0;    }}//查找当前元素所在树的根节点(代表元素)int find(int x){    if(x == node[x])        return x;    return node[x] = find(node[x]); //在第一次查找时，将节点直连到根节点}//合并元素x， y所处的集合void Unite(int x, int y){    //查找到x，y的根节点    x = find(x);    y = find(y);    if(x == y)         return ;    //判断两棵树的高度，然后在决定谁为子树    if(rank[x] < rank[y]){        node[x] = y;    }else{        node[y] = x;        if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++:    }}//判断x，y是属于同一个集合bool same(int x, int y){    return find(x) == find(y);}

      现在我们已经大致的来解了并查集，我们来一道，有一点难度的题目练练手：食物链