【THUSC 2013】楼房重建

题目大意

维护一个序列 {An}，支持单点修改，定义一个位置i的权值为Aii，要求实时回答最长栈的长度（也就是说从开头依次选入，若栈为空或大于已选择的最后一个元素则选择，小于等于则舍弃）。
n<400,000

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思路

问题主要是难在如何维护这个最长栈。
题解用了比较巧妙的方法，因为它并没有“维护“这一个序列。它是类似于树分治这样每一次通过log2n的时间算出当前的答案。
显然题目与Ai本身没有太大的关系，我们直接用Aii来做这个位置的值。

主要根据以下的思路。

我们利用线段树来维护这个序列，对于一个区间我们维护它的最大值以及这个区间的最长栈的长度。

考虑如何维护这两个值，最大值的维护比较简单，主要是维护后者，记其为f(l,r)。当前区间的最长长度不妨可以理解为左区间的最长长度加上右区间的最长长度，并且考虑左区间对右区间的影响。

考虑右区间的权值在受到左区间的影响后会剩下什么，设过程calc(x,l,r)表示求区间[l,r)（初始是右区间）， 它前面的元素的最大值（初始是左区间的最大值）为x时，它对大区间的贡献是多少。

• 若x>[l,mid)max，则[l, mid)对大区间的贡献为0（因为其中所有的元素都被前面的元素覆盖了），于是calc(x,l,r)=calc(x,mid,r)
• 若x<=[l,mid)max，则x对右区间没有影响，则calc(x,l,r)=calc(x,l,mid)+f(l,r)−f(l,mid)，之所以右区间的贡献是f(l,r)−f(l,mid)是因为尽管x对它没有影响，但它要考虑左区间的影响。

于是这个问题就解决了，时间复杂度为O(nlog2n)。

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后记

其实这种实时计算答案的思路在树分治里面就已经见过了，反倒是在序列上比较少见，值得记住的一道题。