坐标

欧几里德建立了几何学，研究线段的长短、角度的大小。然而几何定理的证明，却是一种艺术，充满了灵感和偶然因数。一般人无法理解，学习艰难。
　　笛卡儿发明了坐标系，找到了点和坐标的一一对应，于是线段的长度可以用数学公式来表示，角度的大小可用三角函数来衡量。几何中对形的研究转化成对数的研究。人们可以按部就班地用代数方法解决几何问题，这就是解析几何。
　　进一步的研究，数学家发现，用向量来表示点，对解决问题更为有利。
　　于是，点抽象为向量，向量维数不断增加，几个相同维数的向量放在一起成为矩阵。这一切发展为线性代数。通常平面几何研究二维空间，立体几何研究三维空间，线性代数可研究n维空间。n维线性空间把点看成是n个坐标向量的线性叠加。
　　数学家把函数也看成“点”，找出一组函数作为坐标向量，而其它函数看成是这些坐标函数的线性叠加。这是级数理论的发展，成为一门用坐标研究函数的分支——泛函分析。
　　一元函数的微分和不定积分是线性的，于是泛函分析用来研究常微分方程，解常微分方程变成了数值问题。现在线性泛函相当成熟，理论上，一般常微分方程都可以求近似解。
　　导数和微分是线性的，但多元函数的高次导数和微分的表示太复杂,通常的线性泛函对解偏微分方程不起作用。而我们对非线性泛函同样所知有限，并且非线性泛函对解偏微分方程是否有效仍属未知。
　　数学家利用坐标解决了许多问题，能否用坐标解决更多问题，依然在困惑着数学家。