[BZOJ2038][2009国家集训队][莫队][分块]小z的袜子

[Description]

【问题描述】

     作为一个生活散漫的人，小 Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小 Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……

     具体来说，小 Z把这N只袜子从 1到N 编号，然后从编号 L到R (L<R) 的这R-L+1只袜子中随机抽出两只穿上。

尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。

你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小 Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个 (L,R)以方便自己选择。

【输入文件】

        输入文件名为 hose.in。

输入文件第一行包含两个正整数 N和M 。N为袜子的数量， M为小Z所提的询问的数量。

接下来一行包含N个正整数 C_i ，其中C_i表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。

再接下来M行，每行两个正整数 L，R 表示一个询问。

【输出文件】

        输出文件名为 hose.out。

输出文件包含M行，对于每个询问在一行中输出分数 A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为 0则输出0/1 ，否则输出的 A/B必须为最简分数。（详见样例）

【输入样例】

6 4

1 2 3 3 3 2

2 6

1 3

3 5

1 6

【输出样例】

2/5

0/1

1/1

4/15

【样例解释】

询问1 ：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有 1种可能，抽出两个3有 3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。

询问2 ：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为 0/3=0/1。

询问3 ：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为 3/3=1/1。

注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取 b个的选取方案数。

【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；

60%的数据中 N,M ≤ 25000；

100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N， C_i ≤ N。

[Algorithm & Data Structure]

莫队算法 分块

[Analysis]

莫队算法支持解决区间查询无修改的问题。要求满足[l, r]答案推到 [l, r + 1]或[l + 1, r]需要时间为O(1)(整个算法时间复杂度为O(nsqrt(n))), 或[l, r]到[l, r + 1]为O(log(n))(整个算法时间复杂度为O(nsqrt(n)log(n))

莫队的思想是将询问转化为坐标系中的点，然后找出它们的曼哈顿最小生成树，按照曼哈顿最小生成树的dfs遍历顺序做，就能取得最小的复杂度。当然普通的曼哈顿最小生成树算法比较复杂（分成八块的那种），我们可以采用分块的做法。将整个序列分成sqrt(n)块，将所有的query按照左端点所在区间为第一关键字、右端点为第二关键字进行排序，按照这个顺序进行查询，时间复杂度O(nsqrt(n))

why？首先看块内，右端点的变化最多为n，一共有sqrt(n)块，所以复杂度nsqrt(n)。然后左端点每一次的变化不会超过sqrt(n)，一共有n次变化，所以nsqrt(n)。最后每到新的一块重新开始查询，nsqrt(n)。 加起来总的复杂度是O(nsqrt(n))

[Code]

/**************************************************************    Problem: 2038    User: gaotianyu1350    Language: C++    Result: Accepted    Time:660 ms    Memory:3048 kb****************************************************************/ #include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std; const int MAXN = 5 * 1e4 + 10; long long ans[MAXN] = { 0 };int size[MAXN];int color[MAXN], cntColor[MAXN];struct InfoQuery{    int l, r, idQ, idBlock;    bool operator < (const InfoQuery b) const    {        return (idBlock == b.idBlock && r < b.r) || (idBlock < b.idBlock);    }}q[MAXN];int n, m, len; long long gcd(long long a, long long b){    if (!b) return a;    else return gcd(b, a % b);} int main(){    scanf("%d%d", &n, &m);    len = (int)sqrt(n) + 1;    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &color[i]);    for (int i = 1; i <= m; i++)    {        scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);        if (q[i].l > q[i].r) swap(q[i].l, q[i].r);        q[i].idQ = i;        q[i].idBlock = (q[i].l - 1) / len + 1;        size[i] = q[i].r - q[i].l + 1;    }    sort(q + 1, q + 1 + m);    int i = 1;    while (i <= m)    {        int nowBlock = q[i].idBlock;        memset(cntColor, 0, sizeof(cntColor));        for (int j = q[i].l; j <= q[i].r; j++)            ans[q[i].idQ] += 2 * (cntColor[color[j]]++);        for (++i; q[i].idBlock == nowBlock; i++)        {            ans[q[i].idQ] = ans[q[i - 1].idQ];            for (int j = q[i - 1].r + 1; j <= q[i].r; j++)                ans[q[i].idQ] += 2 * (cntColor[color[j]]++);            if (q[i - 1].l < q[i].l)                for (int j = q[i - 1].l; j < q[i].l; j++)                    ans[q[i].idQ] -= 2 * (--cntColor[color[j]]);            else                for (int j = q[i].l; j < q[i - 1].l; j++)                    ans[q[i].idQ] += 2 * (cntColor[color[j]]++);        }    }     for (int i = 1; i <= m; i++)    {        if (!ans[i])        {            printf("0/1\n");            continue;        }        long long all = (long long)size[i] * (size[i] - 1);        long long d = gcd(ans[i], all);        printf("%lld/%lld\n", ans[i] / d, all / d);    }}