数字三角形

来源：互联网发布：ubuntu 搜狗打字编辑：程序博客网时间：2024/06/11 00:14

问题描述与状态定义

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数字，出了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，如下，从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数加起来，如何使和最大？

状态：把当前的位置(i,j)看成一格状态，然后定义状态(i,j)的指标函数d(i,j)为格子(i,j)出发时能得到的最大和(包括格子(i,j)本身的值)。在这个状态定义下，原问题的解是d(1,1)。

易知状态转移方程：d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}

状态和状态转移方程一起完整的描述了具体的算法，二者是动态规划的核心。

方法一、递归计算(时间复杂度O(2^n))

思路简单明了，但是效率十分低下，由于相同子问题被重复计算了多次。如果有n个结点，则调用关系树也会有n层，一共有2^n-1个结点

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N=51;int a[N][N];int n;int d(int i, int j){if(i == n)return a[i][j] + 0;elsereturn a[i][j] + max(d(i+1,j),d(i+1,j+1));}int main(){int i, j;cin>>n;for(i=1; i<=n; i++)for(j=1; j<=i; j++)cin>>a[i][j];cout<<d(1,1)<<endl;return 0;}

方法二、递推计算(时间复杂度O(n^2))

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N=51;int a[N][N];int d[N][N];int n;int main(){int i, j;cin>>n;for(i=1; i<=n; i++)for(j=1; j<=i; j++)cin>>a[i][j];for(j=1; j<=n; j++)d[n][j] = a[n][j];//边界处理(数字三角形最后一行的数字)for(i=n-1; i>=1; i--)//在计算d[i][j]之前，它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]for(j=1; j<=i; j++)//一定已经计算出来了。避免了重复计算d[i][j] = a[i][j] +max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);//注意计算顺序为逆序cout<<d[1][1]<<endl;return 0;}

方法三、记忆化搜索(时间复杂度O(n^2))

#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int N=51;int a[N][N];int d[N][N];int n;int solve(int i, int j){if(d[i][j] >= 0)return d[i][j];elseif(i == n)return d[i][j] = a[i][j] + 0;elsereturn d[i][j] = a[i][j] + max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1));}int main(){int i, j;memset(d,-1,sizeof(d));//把d全部初始化为-1，可通过判断d[i][j]>=0得知它是否被计算过cin>>n;for(i=1; i<=n; i++)for(j=1; j<=i; j++)cin>>a[i][j];cout<<solve(1,1)<<endl;return 0;}

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