F(n)完全覆盖中的计数问题

完全覆盖中的计数问题

山西省原平一中　任所怀

这几天阅读周沛耕老师主编的《数学 兴趣与创造力》一书，读到“完全覆盖中的计数问题”这一节，感觉有点意思。于是自已试着做一个探索性研究，也不知会有什么新的发现，让我们带着一颗好奇的心开始我们的探索之旅。

 

完全覆盖指的是用一个长1宽2（以后记为12）的矩形小纸片去覆盖一个大小为的矩形网格盘，要求小纸片不重叠、不伸出且不留空地，也就是不多不少恰好把矩形盘盖住。问这样的盖法有多少种？

 

处理这样的问题，我们当然是由易到难，由具体到抽象。先把这个大问题分解为几个小问题来逐步解决。

 

问题一：若矩形盘为，则盖法有多少种？

 

答：显然，如果k为奇数时，肯定无法完全覆盖，即盖法为0种.

 

如果k为偶数时，盖法为1种。

 

问题二：若矩形盘为，则盖法有多少种？

 

答：首先小纸片的放法有横放和竖放两种。如图所示：

 

 

如果k=1时，小纸片只能竖着放一张，盖法只有一种。记为；
如果k=2时，小纸片用两张，可以都横着放，也可以都竖着放，盖法有两种。记为；
如果k=3时，从矩形盘的左上角起，若第一张纸片竖着放，则剩下的矩形盘为，盖法有2种；若第一张纸片横着放，则剩下的矩形盘为，盖法有1种，故k=3时，盖法共有3种，记为。如图所示：

 

 

如果k=4时，同样从矩形盘的左上角起，若第一张纸片竖放，剩余的矩形盘为，盖法有种；若第一张纸片横放，剩余的矩形盘为，盖法有种。故k=4时，盖法共有种。如图所示

 

以此类推，可知
当k=n时，盖法种数为。
　　很明显，数列就是著名的斐波那契数列。由斐波那契数列通项公式就可彻底解决问题二。

 

到此，我们的探究才刚开了个头，还有更深更有趣的问题，引领我们继续前行。

 

问题三：若矩形盘为，则完全覆盖它的盖法有多少种呢？

 

分析：首先要想用纸条完全覆盖矩形盘，则矩形盘中的小正方形个数必为偶数，故这一问题中的k只能取正偶数。

 

当k=2时，从矩形盘的左上角起，若第一张小纸条竖放，则下面必然要横放一张，此时剩下的矩形盘为，故覆盖的方法有1种；

 

若第一张小纸条横放，则剩余的矩形盘为，故覆盖方法有2种；

 

所以k=2时，覆盖方法共有3种。记为。如图所示

 

 

当k=4时，此时如果我们仍采用首张横放、首张竖放的方法分两类来讨论，就会发现问题相当复杂，根本不可求解。于是我们必须探索新的解决方法。

 

首先计数问题，分类计数仍是我们主要的思索方向。只是分类的标准我们要作出调整。对于的矩形盘，共有12个小正方形。要想完全覆盖，一定要用的小纸条6张。只是其中有些横放，有些竖放。横放的最多有6条，竖放的最多有4条。

 

于是我们以竖放的小纸条条数为分类标准。

 

 当竖放的小纸条有4条时，覆盖方法有如图下面四种情况：

 

当竖放的小纸条有且只有3条时，经实验可知不能完全覆盖；

 

当竖放的小纸条有且只有2条时，覆盖方法有如图下面六种情况：

 

 

当竖放的小纸条有且只有1条时，经实验可知不能完全覆盖；

 

当竖放的小纸条有且只有0条时，覆盖方法则有且仅有一种。

 

综上所述，可知k=4时，覆盖种数共有4+6+1=11种。记为。

 

此时对于的矩形盘覆盖问题虽然得到了解决，但这个方法还是有点缺陷，因为它用到了列举法、实验法，对于数目不太大时比较实用，数目再大时估计，这种方法是不可行的。

 

再联想前面对于矩形盘覆盖问题的处理，我们能否把的矩形盘分割成小一些的的矩形盘来处理。在分割过程中，由于可能出现把一张小纸片分割成两小正方形的情况，于是我们的分类标准就是，看分割线分割了几张小纸片。

 

把的矩形盘沿中间分割成两个的矩形盘，分割线可能割0张小纸片或2张小纸片。（为什么请读者思考？继续读下去，你会找到答案。）

 

   当分割线割0张小纸片时，分割线左右两侧各有一个的矩形盘，每个矩形盘的覆盖方法有种，故此时的覆盖方法有种；
   当分割线割2张小纸片时，覆盖方法如图所示有两种;

 

综上所述，当k=4时，覆盖方法种数为11种。

 

显然这种方法比前面的方法还是有优越性，分类的种数较少，计算也比较简便。

 

下面我们接着来探究，这种方法有无一定的推广价值。

 

当k=6时，矩形盘更大了是的，我们按中间线把它分割成两个的矩形盘。则分割线分割的小纸片张数只能为1张或3张。因为如果分割0张或2张，则在3的矩形盘中剩余未覆盖的小正形个数不是偶数个，就不可能恰好被整数张小纸条覆盖。

 

当分割线恰好分割了1张小纸片时，分割线左右两边正好是如图所示的矩形盘，其中有一个小正形已被覆盖（用黑色表示）。有三种情形：

 

 

其中第（1）种情形的覆盖方式共有4种，第（2）种情形无法完全覆盖，第（3）种情形的覆盖方式同第（1）种也有4种。

 

故此时的覆盖方法种数为=32种。

 

当分割线恰好分割了3张小纸片时，分割线左是如图所示图形，

 

 

此时左边的覆盖方法有3种，由对称性，右边的覆盖方法也有3种，

 

故此时的覆盖方法种数为种。

 

综上所述，知当k=6时，覆盖方法种数为种。记为。

 

当k=8时，矩形盘已经变成了。我们仍取中间线为分割线，则分割线所分割的小纸条张数为0张或2张。

 

当分割线分割小纸条张数为0时，左、右两边各为一个完整的3的矩形盘，则覆盖方法种数为种；

 

当分割线分割小纸条张数为2张时，左边的图形可能为（黑色代表已覆盖）下面3种情形：

 

 

对于第一种情形，覆盖方法有4种；第（2）种情形不能完全覆盖；第（3）种情形覆盖方法有4种。故分割线分割小纸条张数为3张时，完全覆盖方法种数为种。

 

综上所述，当时，覆盖方法种数为。

 

经过我们上面艰苦的探索，对于数列还是没能发现什么有价值的规律。但从中我们掌握的分割法探索完全覆盖问题的方法，为我们进一步探索奠定的一定的基础。对于的矩形盘的探索，我们不妨就此打住。下面我们来看看对于的矩形盘，我们会有什么发现？

 

当k=1时，很明显，覆盖方法只有1种。记为。
    当时，覆盖方法有5种（见前面的矩形盘），记为。
    当k=3时，覆盖方法有11种（见前面的矩形盘），记为。

 

当k=4时，用竖线沿矩形盘中间分割，左右两边各为一个的矩形盘。分割线可能分割的小纸条张数为0、2或4张。

 

当小纸条被分割张数为0时，左、右两边各为一个完整的的矩形盘，于是完全覆盖的方法种数为5=25种。

 

当小纸条被分割张数为2时，左边矩形盘可能为

 

其中（1）、（2）的完全覆盖方式各有两种，（3）、（4）的完全覆盖方式各有1种，（5）（6）不能完全覆盖。

 

则此时4×4的矩形盘完全覆盖方法有2×2+2×2+1+1=10种；
当小纸条被分割张数为4时，左边的矩形盘为

 

 

它的覆盖方法只有1种。

 

综上所述，对于4×4的矩形盘，完全覆盖方法种数为。

 

当k=5时，我们用一条水平线沿矩形盘的中间来分割，矩形盘被分割成了两个2的矩形盘。被分割线分割的小纸条可能为0，2或4张。

 

当分割线分割的小纸条张数为0时，完全覆盖方法种数为8×8=64种；

 

当分割线分割小纸条张数为2时，上面的矩形盘可能有如下情形：

 

 

其中（1）（2）两种情况，完全覆盖的方法各有3种；
（3）（4）两种情况，完全覆盖的方法各有2种；
（5）（6）（7）（8）四种情况，都不能完全覆盖。
（9）（10）两种情况，完全覆盖的方法各有1种。

 

于是此种情形下，4×5的矩形盘完全覆盖的方法有3×3+3×3+2×2+2×2+1+1=28种。

 

当分割线分割小纸条张数为4张时，上面矩形盘的有如下情形：

 

 

其中（1）、（3）、（5）的完全覆盖方法各有1种；（2）（4）都不能完全覆盖。

 

于是此种情形下，4×5的矩形盘完全覆盖的方法有1+1+1=3种。

 

综上所述，对于4×5的矩形盘完全覆盖的方法有种。

 

经过艰辛的努力，虽然我们并没有想象中会有什么巨大的发现出现，但在这艰难的探索中，我们学会了研究问题的方法，同时也磨炼了我们的意志。这是我利用6个小时时间一口气完成的一次探索，虽然在科学道路上，这样的探索也许不值一提，但它毕竟是开始，我想日后我还会有更多的作品出现。

 

作者简介：任所怀，山西省原平市第一中学一级教师。1996年毕业于山西师范大学数学系，在中学任教15年，一直从事高中数学教学与研究工作。