并查集

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1 什么是并查集？
2 并查集的主要操作
3 主要操作的解释及代码
4 并查集的优化
5 时间复杂度
6 源代码
7 习题
 

[编辑] 什么是并查集？
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

[编辑] 并查集的主要操作
合并两个不相交集合
判断两个元素是否属于同一集合
[编辑] 主要操作的解释及代码
需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。

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（1） 合并两个不相交集合操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

附图一张（摘自CLRS）——Ronice

 

a图为两个不相交集合，b图为合并后Father(b):=Father(g)

代码：

Procedure Union(x,y:integer);{其中GetFather是下面将讲到的操作}
 var fx,fy : integer;
  begin
     fx := GetFather(x);
     fy := GetFather(y);
     If fx<>fy then Father[fx] := fy;{指向最祖先的祖先}
  end;
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（2） 判断两个元素是否属于同一集合仍然使用上面的数组。则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。（有待补图，制作中）代码：

Function Same(x,y:integer):boolean;
begin
  if GetFather(x)=GetFather(y) then
    exit(true) else
    exit(false);
end;[编辑] 并查集的优化
（1）路径压缩

刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O（n）的复杂度，这显然不是我们想要的。

对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。这就是路径压缩了。使用路径压缩的代码如下，时间复杂度基本可以认为是常数的。

附图摘自CLRS：

 

Procedure Initialize;
var
  i:integer;
begin
  for i:=1 to maxv do
    Father[i]:=i;
end;
 
Function GetFather(v:integer):integer;
begin
  if Father[v]=v then
    exit(v) else
    Father[v]:=GetFather(Father[v]);
  exit(Father[v]);
end;（2）rank合并

合并时将元素少的集合合并到元素多的集合中。

function judge(x,y:integer):boolean;
 var fx,fy : integer;
  begin
     fx := GetFather(x);
     fy := GetFather(y);
     If fx=fy then
       exit(true) else
       judge := false;
     if rank[fx]>rank[fy] then
       father[fy] := fx else begin
       father[fx] := fy;
       if rank[fx]=rank[fy] then
         inc(rank[fy]);
     end;
  end;初始化：fillchar(rank,sizeof(rank),0);

[编辑] 时间复杂度
O(n*α(n))

其中α(x),对于x=宇宙中原子数之和,α(x)不大于4

事实上，路经压缩后的并查集的复杂度是一个很小的常数。

[编辑] 源代码
加了所有优化的代码框架：

c

c++

[编辑] 习题
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