开心的小明-动态规划算法

开心的小明

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难度：4

描述

小明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N 元钱就行”。今天一早小明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5 等：用整数1~5 表示，第5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N 元（可以等于N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第j 件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k 件物品，编号依次为j1...jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]请你帮助金明设计一个满足要求的购物单.

输入

第一行输入一个整数N(0<N<=101)表示测试数据组数
每组测试数据输入的第1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m
（其中N（<30000）表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）
从第2 行到第m+1 行，第j 行给出了编号为j-1
的物品的基本数据，每行有2 个非负整数
v p
（其中v 表示该物品的价格（v≤10000），p 表示该物品的重要度（1~5））

输出

每组测试数据输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的
最大值（<100000000）

样例输入

11000 5800 2400 5300 5400 3200 2

这道题是可以用典型的0-1背包问题来解决，也就是说对于每个物品要么买要么不买，但是要满足钱的总数不能超过指定值。

刚开始想的是建立如下的二维表，然后逐步填表，用dp[i][j]来表示从第i个物品到第j个物品的不超过最大钱数情况下的重要度和价值乘积的总和。二维表对角线的元素表示仅选择当前物品的情况。但是dp[i][j]的值却难以表示，如果第j个元素可以加入的话则可以表示为dp[i][j]=dp[i][j-1]+v[j]*w[j]；

如果第j个元素不可以加入的话，则首先要考虑能否替换掉以前的某个物品。如果可以的话，则还要对以前的物品进行回溯处理，太难。如果不可以的话则直接dp[i][j]=dp[i][j-1].总体来讲这种二维表填写的方式太复杂，不可行。

后来又尝试了另外的一种动态规划的状态转移方程：

for (i = m; i>= 1; i--)for (j = n; j >= v[i]; j--)dp[j] = max(dp[j], dp[j-v[i]] + v[i]*w[i]);

代码将每个价格作为填表对象。从1到30000每个开始填。第一层for循环的意思是：

每一个物品可以被那些价格包含，如果包含(就是可以购买)的话就将起价值度改写，档处理第二个物品时，如果可以加入的话(j>=v[i])就在dp[j-v[i]]的基础上再加上该物品的价值度。