带花树算法 UOJ#79. 一般图最大匹配

带花树算法

能解决的问题:一般图最大匹配http://uoj.ac/problem/79

匈牙利算法可以解决二分图匹配的问题，但是因为二分图有一个特殊的性质，那就是不会出现一个有奇数点的环。然而对于每一个有偶数点的环，在环里面无论怎么匹配都是可以的，然而假如有奇数的环就不一样了。

不想写废话了。。

————————————正文——————————

时间复杂度大概是O(n^2)吧

首先，思路肯定是找增广路，也是让每一个没匹配的点去尝试进行匹配，看是否可以有新的匹配。

首先，在没出现奇环之前，我们把他当做一个普通的二分图来看，是没毛病的。

于是有了id这一个数组，id有三种不同的状态

-1:没访问过  0:S点  1:T点

首先我们假设一开始要增广的点是一个S点

由于写的是广搜，所以我们需要一个数组，pre，表示，假设在这次匹配中，第i个点的配偶根别人跑了，他该和谁配对。

 

然后对于找到方案的这一段代码就很简单了。。

 

 

那么接下来的问题是如何来进行寻找增广路的操作了

假设现在我们在队列中待处理的点为x

首先，假如我们遍历到一个以前没有访问过的点y，那么我们就让他的配偶继续进行增广。

Q：为什么是让他的配偶去呢？

A：因为我们现在是要假设x要与y相连啊，拿肯定是看看y的配偶是否可以换人啦，这一步感觉和普通的匈牙利是没什么太大的不同的

 

 

然后我们可以发现一个问题啊，那就是我们每一个待扩展的点x都是一个S点，嗯，都是S点。这就说明每一个点都是由S点扩展出来的。

 

那么除了上面的情况外，剩下的就是环了

 

假设我们出现的是一个偶环，那么就直接无视——至于为什么，大概想一下就可以了

 

假如我们发现的是一个奇环，那就有大大的不一样了，因为假如我们这个环中有任意一个点可以在外面找到增广路的话，这个环就变成了一个偶数环，问题就解决了。

 

比如说上面这个图，X就是我们要增广的点，假如出现了这样一个环，那么只要1,2,3,4随便一个点可以找到增广路，那么X就可以有配偶啦^_^

然后下文我们假设这个环的突然出现时因为出现了2————3这一条边

 

铺垫：我们在处理完一个奇环后，我们是可以把他试做一个点的(因为这个环中只要有一个点成功就行),所以这里写了一个并查集，来使点变成一个环，我的并查集下文用的是f，当然，这个大点是一个S点。

 

那么我们怎样知道他是不是一个奇环呢？

也很简单，只要我们访问到的点也是S点就是了。这个自己想一下应该也可以想出来

 

那么剩下的操作就是如何让他们去遍历了。

首先我们要知道这个环长什么样吧，比如说在上图中，2,3肯定是由之前的同一个点增广时所牵扯出来的，也就是有一个点使得他们间接连通现在才回出现环，上图就是x，所以我们要先知道他是从哪里来的。于是我们需要一个lca，当然这个lca也写得比较巧妙~~

 

 

然后就是处理环了，分两段进行，

 

一段就是处理2到x这一条路，另一段就是处理3到x这一条路，两个的操作是一样的，所以只需要写一个就可以了。

 

其中一个操作肯定是让图中所有的点去增广，因为一开始的S点肯定都已经入队增广了，所以我们要新加入的点就只有之前的T点了。

 

其次就是维护pre了，这个过程也比较简单，就是先让出现新边的两条pre互连，然后让上面的每一个T点与扩展他的S点相连。然后假如我们在其中任意有一个点找到增广路了，根据pre，你就可以得出一条没有冲突的匹配关系。这个我觉得自己脑补一下就好了。

 

还是举个栗子吧。。

还是上面的图，假如你现在T点4找到了增广路，那么3就会去找2,2的原配偶1就会去找x。

假如是S点3找到了增广路，那么4就会找到x，1,2关系不用变，这个和没环没啥区别。

完结撒花~~

全代码大部分都是照着别人的写的。。

 

#include<cstdio>#include<cstring>#define swap(x,y) {int tt=x;x=y;y=tt;}const int N=505*2;const int M=124750*2;int f[N];struct qq{int x,y;int last;}s[M];int num,last[N];int n,m;void init (int x,int y){num++;s[num].x=x;s[num].y=y;s[num].last=last[x];last[x]=num;}int match[N];int id[N];//这个点是什么点//-1:没访问过  0:S点  1:T点 int q[N];//要扩展的队列————也就是我们要尝试帮谁换配偶 int pre[N];//在这次过程中,x的新配偶是谁int Tim,vis[N];//对于lca的标记以及时间轴 int find (int x){if (f[x]==x) return f[x];f[x]=find(f[x]);return f[x];}int lca (int x,int y)//寻找lca {Tim++;while (vis[x]!=Tim){if (x!=0){x=find(x);//先找到花根 if (vis[x]==Tim) return x;vis[x]=Tim;if (match[x]!=0) x=find(pre[match[x]]);//因为在之前我们知道，每一个S点的配偶(也就是T点)的pre 都是指向他的父亲的,于是就直接这么跳就可以了//还有要注意的是，一定要先去到花根，因为他们现在已经是一个点了，只有花根的pre才指向他们真正的父亲 else x=0;}swap(x,y);}return x;}int st,ed;void change (int x,int y,int k)//环  出现的是x---y的连边  已知根是k {while (find(x)!=k){pre[x]=y;int z=match[x];id[z]=0;q[ed++]=z;if (ed>=N-1) ed=1;if (find(z)==z) f[z]=k;if (find(x)==x) f[x]=k;y=z;x=pre[y];}}void check (int X)//尽量帮助x寻找增广路 {for (int u=1;u<=n;u++) {f[u]=u;id[u]=-1;}st=1;ed=2;q[st]=X;id[X]=0;while (st!=ed){int x=q[st];for (int u=last[x];u!=-1;u=s[u].last){int y=s[u].y;if (match[y]==0&&y!=X)//当然match[X]=0,但X(这次来寻找配偶的点)并不是一个可行的东西,所以不能算可行解 {pre[y]=x;//先假设他与x相连int last,t,now=y;while (now!=0)//当然，这次来的X的match是为0，要是能更新到0就是结束 {t=pre[now];//now新的配偶last=match[t];//理所当然啦 match[t]=now;match[now]=t;now=last;}return ;}if (id[y]==-1)//找到一个没有访问过的点————进行扩展{id[y]=1;pre[y]=x;//先假设他与x相连id[match[y]]=0;q[ed++]=match[y];if (ed>=N-1) ed=1;}else if (id[y]==0&&find(x)!=find(y))//出现一个以前未处理过的奇环{int g=lca(x,y);change(x,y,g);change(y,x,g);}}st++;if (st>=N-1) st=1;}}int main(){memset(vis,0,sizeof(vis));Tim=0;memset(match,0,sizeof(match));num=0;memset(last,-1,sizeof(last));scanf("%d%d",&n,&m);for (int u=1;u<=m;u++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);init(x,y);init(y,x);}for (int u=1;u<=n;u++) if (match[u]==0) check(u);int ans=0;for (int u=1;u<=n;u++)if (match[u]!=0) ans++;printf("%d\n",ans/2);for (int u=1;u<=n;u++) printf("%d ",match[u]);return 0;}

肯定写错了很多东西。。。。。。