【通俗向】假设检验（三）：卡方检验和t检验

国际惯例，先看几个例子：

1. 假设抛硬币，抛了12次，出现正面为1，反面为0，如果出现正面的次数为10次，问这个硬币是否均匀？
2. 假设有一个正四面体，出现四个面的分别记为1,2,3,4；抛了120次，如果出现这四个面的次数为30,30,40,20的话，问这个四面体是否均匀？
3. 假设有一个灌铅的正四面体（赌博用），厂商声称其中出现4的概率为70%，其他三个面为10%，那么抛了120次，四个面的概率为（1,2,3,4）为10,10,20,80，问这个四面体合不合规？
4. 假设赌博的时候，用两个之间连根线的硬币A和B（不一定是均匀硬币），出现正面为1，反面为0，一共抛了120次，A出现100次正面，B出现90次正面，问这个绳子是否对两个硬币的分布造成影响？
5. 在赌博的时候用之前的正四面体（不一定是均匀四面体），并用线连接起来，一共抛120次，两个四面体A和B出现（1-4）点数的次数为A:20,20,40,40；B:30,20,30,40 问这个两个四面体的分布是否独立？
6. 在一个大风天里玩三个骰子（-_-），抛了A四面体骰子12次，B抛了24次，C抛了32次，A出现的四个面为(3,3,3,3),B为（6,7,5,6）,C为（8,8,6,7），问这三个筛子的分布是否相互独立？
7. 如果刚开始是一个四面体骰子，扔了100次，出现1234的次数别是20,20,25,35；后来厂商进行改进说能扔出更多的4，扔了200次，发现出来1234的次数为10,20,30,140，问：
   1：第一个骰子是均匀分布的么？
   2：第二个骰子真的和第一个不一样么？
   3：第二个筛子出现4的概率真的比第一个大么？

以下是问题的解答，其中统一取p=0.01，也就是小于1%的话，认为事件不可能发生

1：p=C（12）（10）* （1/2）^10*(1/2)^2=0.016；

也就是说有1.6%的概率发生这件事情，既然我们之前取得概率是1%，所以可以接受这个巧合

2： 最简单的卡方检验

x2<-c(30,30,40,20)p2<-rep(0.25,4)chisq.test(x2,p=p2)

pvalue=0.08，无法拒绝原假设，也就是有8%的概率出现以上的情况。

3：一维卡方

p3<-c(0.1,0.1,0.1,0.7)x3<-c(10,10,20,80)chisq.test(x3,p=p3)#结果：Chi-squared test for given probabilitiesdata:  x3X-squared = 6.1905, df = 3, p-value = 0.1027

可以看到p=0.1，所以可以接受原假设

4：二维卡方检验，不再检验样本和理论频率，而是两个样本之间的检验；

b<-matrix(c(100,20,90,30),nrow=2)b<-as.table(b)rownames(b)<-c(0,1)colnames(b)<-c('A','B')chisq.test(b)

看出P=0.15，同样无法拒绝原假设

5：同样的二维，但不是普通的2*2卡方，代码如下

b<-matrix(c(20,20,40,40,30,20,30,40),ncol=2)b<-as.table(b)rownames(b)<-c(1,2,3,4)colnames(b)<-c('A','B')chisq.test(b)

结果

Pearson's Chi-squared testdata:  bX-squared = 3.4286, df = 3, p-value = 0.3301

p=0.33，说明AB间有关联。

6：同样扩展到三个变量的独立性检验：

b<-matrix(c(3,3,3,3,6,7,5,6,8,8,6,7),ncol=3)b<-as.table(b)rownames(b)<-c(1,2,3,4)colnames(b)<-c('A','B','C')chisq.test(b)

结果

Pearson's Chi-squared testdata:  bX-squared = 0.17829, df = 6, p-value = 0.9999

P值很大，不能拒绝三个没有相关的假设，也就是不独立

7：这个问题涉及到卡方检验和t检验的本质，卡方检验主要检验几个变量之间的独立性，也就是有没有关联，而t检验更多的检验显著性，也就是几组数据到底一不一样。也就涉及到相关性和显著性的问题。

比如这个例子，扔第一个骰子100次，又扔了第二个骰子200次，如果是一个骰子的话，这两个骰子出现的次数应该保持近似一致，如果检验后发现出现一致的概率很低，那么可以拒绝原假设（也就是不一致）；但是两个骰子本身的性质（均匀分布或者灌铅骰子）和这一个骰子的实验结果展现的次数有关系。也就是说卡方检验检验的是次数，而t检验检验的是值

再举个更通俗的例子，假如身高高的人一般体重都大，那么我取了10个身高段“150,155,160…200cm”1000个人，然后按照体重分为10个体重段，比如‘50kg，60kg….’，然后做成列联表，最后按照卡方检验求p值，发现p值=0.001，也就是说如果没有联系的话，实验这么多次出现这个结果的概率为0.001，显然这么小的概率可以认为不能发生，所以是有关联的。（Fisher检验更精确的说明这个论点）。

而t检验可以利用操作均值的差异，检验1000个样本，身高放在A列，体重放在B列，从而看A，B列的差异，如果p=1 则说明A和B没有差异。

所以卡方检验和T检验的前提条件（原假设）是对立的：
卡方检验：假设没有相关性
T检验：假设没有差异（相等）

刚才的例子，举个n=100的样本，代码如下
F检验

a<-c(35,15,41,9)dim(a)<-c(2,2)rownames(a)<-c('high','low')colnames(a)<-c('heavy','light')chisq.test(a)

首先建立一个tablea，a，假设超过180cm叫high，超过90kg叫heavy，则这个列联表如下：

      heavy lighthigh    35    41low     15     9

检验结果如下：

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correctiondata:  aX-squared = 1.3706, df = 1, p-value = 0.2417

p=0.24，不能拒绝没有相关性的检验，也就是相关

相似的如果按照第二个t检验，需要出身高和体重的数据，模拟一下：

b1<-seq(160,200,5)set.seed(100)b2<-b1/2+rnorm(9)t.test(b1,b2,mu=80)

其中b1是从160-200cm中，每隔5cm取一个序列，b2是体重值，简单起见，用b1/2加上一个随机数，mu=80，是b1的均值-b2的均值=80这个假设，也就是线性分布。

结果为：

Welch Two Sample t-testdata:  b1 and b2t = 1.9572, df = 11.739, p-value = 0.07453alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 8095 percent confidence interval:  78.84237 101.11757sample estimates:mean of x mean of y 180.00000  90.02003 

可以看到p=0.07，不能拒绝原假设，也就是两个值的差值在80这个结论可以成立。

最后以最后一题的结论结束这篇文章：
1： 代码如下：
p7<-rep(0.25,4)
x7<-c(20,20,25,35)
dim(x7)<-c(2,2)
chisq.test(x7,p=p7)

结果为

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correctiondata:  x7X-squared = 0.37879, df = 1, p-value = 0.5383

p值为0.5，说明无法拒绝，所以是均匀分布。

2：代码如下：

x7_2<-c(10,20,30,140)x7<-c(20,20,25,35)t.test(x7,x7_2)

结果：

Welch Two Sample t-testdata:  x7 and x7_2t = -0.82015, df = 3.0818, p-value = 0.4708alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 percent confidence interval: -120.56751   70.56751sample estimates:mean of x mean of y        25        50 

因为p=0.47，也就是说有0.47的概率均值相等，所以不能拒绝原假设，也就是没有显著差别。

3：

x7_3<-c(140,60)x7_4<-c(35,65)t.test(x7_3,x7_4,alternative='greater')

p=0.2，所以不能认为后者比前者大，有可能是随机造成的

The end