JZOJ 3885. 【长郡NOIP2014模拟10.22】搞笑的代码

Description

在OI界存在着一位传奇选手——QQ，他总是以风格迥异的搞笑代码受世人围观
某次某道题目的输入是一个排列，他使用了以下伪代码来生成数据
while 序列长度< n do
{
随机生成一个整数属亍[1,n]
如果这个数没有出现过则加入序列尾
}
聪明的同学一定发现了，这样生成数据是徆慢的，那么请你告诉QQ，生成一个n排列的期望随机次数

Input

一个正整数n，表示需要生成一个n排列

Output

一个数表示期望随机次数，保留整数

Sample Input

4

Sample Output

8(.333333…)

【友情提示】

输出样例的括号里表示答案的小数部分，但实际丌要求输出
数学期望=sigma(概率* 权值)，本题中为期望随机次数=sigma(概率*随机次数)

Data Constraint

30%数据满足 n≤3
80%数据满足 n≤107
100%数据满足 n≤231

Solution

• 这题是经典的概率期望题。

• 定义 fi 表示 序列长度为 i 时的期望随机次数，不难根据题目的定义列出递推式：

  fi=in∗(fi+1)+n−in∗(fi−1+1)

• 解得：

  fi=fi−1+nn−i

• 所以答案就是：

  ∑i=1nni

• 但然而数据范围很大，单纯的 O(N) 处理是会超时的。

• 于是两个“高深”的算法便横空出世了！

  1. • 打表！！！——每隔 107 打一个数，暴力处理！~

  2. • 运用 欧拉常数 与 调和级数 处理，在 N 很大时误差极小；

     • 之后在 N≤107 时同样暴力处理即可。

     • 具体公式为：

       Ans=logeN∗Euler∗N

Code

#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;const double Euler=0.57721566490153286060651209;int n;double ans;int main(){    scanf("%d",&n);    if(n>1e7) ans=log(n)+Euler; else        for(int i=1;i<=n;i++) ans+=1.0/i;    printf("%.0lf",n*ans);}