数据结构与算法笔记 lesson 19 二叉树

二叉树

二叉树（Binary Tree）是 n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者由一个根结点和两课互不相交的、分别称为根结点和左子树和右子树的二叉树组成。

每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。

五种基本形态

空二叉树

只有一个根节点

根节点只有左子树

根节点只有右子树

根节点既有左子树又有右子树

斜树

左斜，右邪

满二叉树

叶子只能出现在下一层

非叶子结点的度一定是2

在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数一定最多，同时叶子也是最多

完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树暗层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

叶子结点只能出现在最下两层

最下层的叶子一定集中在左部连续位置

倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

如果结点度为1，则该结点只有左子节点

同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

性质

在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)

深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）

对任何一课二叉树T,如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2,则n0=n2+1

具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n ]+1

如果一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为[log2n ]+1）的结点按层序编号，对任一结点i(1<=i<=n)有以下性质:

如果 i=1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲是结点[i/2]

如果2i>n,则结点i不是左节点（结点i为叶子结点）；否则其左子节点是2i

如果2i+1>,n则结点i不是右节点（结点i为叶子结点）；否则其右子节点是2i+1

二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的各个节点，并且结点的存储位置能体现结点之间的逻辑关系

二叉树一般采用链式存储结构

typedef struct BiTNode{  ElemType data;  struct BiTNode *lchild , *rchild;}BiTNode,*BiTree;