一道自主招生试题

来源

2009年 中国科学技术大学 自主招生考试。
∀x,y∈R,x2+xy+y2≥3(x+y−1)

解法

自主招生考试已经不局限于以往的高中数学必修内容了。
——不用考虑初等解法真好。

这个问题等价于找二元函数：f(x,y)=x2+xy+y2−3(x+y−1) 在 (x,y)∈R2 上的极小值。只要证明极小值存在而且为0即可了。——无约束的极值问题相对还是容易的。把高等数学中的简单内容下放到高中，于是就成了自主招生考试题。

因为光滑、无限次可微，其在(x0,y0)取极值的必要条件：

梯度：∇f(x0,y0)=0⇒x0=y0=1

极小值还需要，Hessian矩阵正定：

∇∇f(x0,y0)≻0

因为∇∇f(x0,y0)=[2112]，各阶顺序主子式皆为正值，所以正定，(x,y)=(1,1)处 f(x,y)取极小值，

f(1,1)=0所以不等式成立，等号仅在x=y=1时成立。

最好

还是要问一问，是否有初等解法？