盒子与球问题的探讨

情况一：n个不同盒子，m个相同小球，小球放入盒子，不允许盒子有空的情况。

简单方程：x1+x2+…..+xn=m，假想成m个1，m-1个空位填符号，则方程解
C（m-1，n-1）；

情况二：n个不同盒子，m个相同小球，小球放入盒子，允许盒子有空的情况。

C（m+n,n）;
拓展：a个A小球，b个B小球，n个盒子：C（n+a，n）*C（n+b,n）;

情况三：n个不同盒子，m个不同的小球，小球放入盒子，不允许盒子有空。

满足第二类stirling数（斯特林数）；
不了解的：http://baike.baidu.com/link?url=EPcGYyqDKzay4fVUasVpBI5tNS-Jqx6XukSIyIsXOUWy0z5HUtlDVDqY4UgXthNY8fkLqlolW6CGlM5c48OmE8IpjQ14I_4l_MdxJYI8F-G7emNboerFx_9ouqsg4DDM
f[i,j]为前i个小球放入前j个盒子，且盒子无空的方案总数：
递推式：
分析如下：
（1）如果n个元素构成了m-1个集合，那么第n+1个元素单独构成一个集合。方案数 S(n,m-1);
（2）如果n个元素已经构成了m个集合，将第n+1个元素插入到任意一个集合。方案数 m*S(n,m) 。
综合两种情况得：f[i,j]：=f[i-1,j]*j+f[i-1,j-1];
f[i,0]:=0^n;
f[1,1]:=1; f[i,i]:=1; f[n,2]:=2^(n-1)-1; f[n,n-1]:=C(n,2); f[n,m]=0;(m>n);

情况四:n个不同盒子，m个不同的小球，小球放入盒子，允许盒子有空。

将情况三的f[m,i]+….+f[m,n],

代码如下：
readln(n,m,k);
for i:=1 to m do
f[i,i]:=1;
for j:=1 to m do
for i:=j+1 to n do
f[i,j]:=((f[i-1,j]*j) mod k+(f[i-1,j-1]) mod k) mod k;
t:=0;
for i:=1 to m do
t:=(t+f[n,i]) mod k;