HDU 5970 最大公约数

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5970

题意:(中文题,,不用我说了吧.)

分析:
当时在比赛的时候并没有做出来,主要是时间不够,有点分心在其他题上,然后就水了.其实看到这种题,第一想法不用想太复杂,可能有暴力的方法,找规律!
看看数据范围
n <= 666,666,666, m <= 666, p <= 666,666,666
突破口必然在m上,那怎么用呢?
不可能暴力gcd和T的,这样必然超时,我们知道gcd（a,b）=gcd(b,a%b)
那又怎么样呢?那么给你一个提示,例如gcd(5,9)=gcd(16,9)
手写一下,你就发现确实是这样啊~！
不仅如此,f(5,9)=f(16,9)
那么我们就知道,如果以m为基数的话,那么对于所有的n,莫非就余0,余1,余2……余m-1
我们就可以这样做,然后就可以统计同余的有多少个,然后看一下规律,然后一大片的求,
就能在m^2的时间求出答案了..
别住,这个规律还是有问题啊.
它有向下取整,不可能把个i什么的拆出来,就必须一个个才行.就是(i*j)/f(i,j).
那就会出现多1,少1的情况..因为取整问题..

那么我们先暴力一段序列.看看数据有什么问题.
例如 9余5的所有数的f(i,j)

这明显有规律啊,循环节啊..

这下就懵逼了,循环节该怎么搞啊?
他们的差值又不一样..,这是个好问题,但是既然是循环节,肯定等差..

我也写了很久,然后我灵感来的猜出来的.
除去第一个f（y,m）=11;
他的差值循环节就是c
然后 d=c*（f（y，m）=11）（代表c倍的,余数y和m的f）.
以上是我找到的规律,为什么是这样我就不太懂了,我也想了很久.
只要我们求出 （31+51+72+92）这段的初值,就可以用等差数列求循环节一整段
然后就是细节的处理了.

我的程序是卡过这题的,我也不知道为什么那么慢
算法复杂度在O（m^2*c） 我试过On(m^2*2c)都不行,因为这个循环节规律就是逼我在这种情况下找出来的.

/* Author:GavinjouElephant * Title: * Number: * main meanning： * * * */#include <iostream>using namespace std;#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <algorithm>#include <sstream>#include <cctype>#include <vector>#include <set>#include <cstdlib>#include <map>#include <queue>//#include<initializer_list>//#include <windows.h>//#include <fstream>//#include <conio.h>#define MaxN 0x7fffffff#define MinN -0x7fffffff#define lson 2*k#define rson 2*k+1typedef long long ll;const ll INF=0x3f3f3f3f;const ll maxn=700;ll Scan()//读入整数外挂.{    ll res = 0, ch, flag = 0;    if((ch = getchar()) == '-')             //判断正负        flag = 1;    else if(ch >= '0' && ch <= '9')           //得到完整的数        res = ch - '0';    while((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9' )        res = res * 10 + ch - '0';    return flag ? -res : res;}void Out(ll a)    //输出外挂{    if(a>9)        Out(a/10);    putchar(a%10+'0');}ll Fc[maxn][maxn];ll Fcx[maxn][maxn];void  f(ll x,ll y){    ll tx=x,ty=y;    ll c=0;    while(y>0)    {        c+=1;        ll t=x%y;        x=y;        y=t;    }    Fc[tx][ty]=c;    Fcx[tx][ty]=c*x*x;}void init(){    for(ll j=1; j<=666; j++)    {        for(ll i=0; i<=j; i++)        {            f(i,j);        }    }}ll cas(ll x,ll y){    return (x*y)/Fcx[x%y][y];}int T;ll n,m,p;ll top;ll xhj[5000];ll Sum[5000];int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("coco.txt","r",stdin);    freopen("lala.txt","w",stdout);#endif    init();    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);        ll ans=0;        ll d;        for(ll j=1; j<=m; j++)        {            for(ll y=0; y<j; y++)            {                ll  l=1-j-y;                ll  r=n-y;                ll num=(r/j - l/j);                if(y==0)                {                    ans=(ans+num%p+(num*(num-1)/2)%p)%p;                }                else                {                    //-->找循环节                    if(num==0) continue;                    ll t=(num-1)/Fc[y][j];                    ll tt=(num-1)%Fc[y][j];                    ll s=cas(y,j);                    ans=(ans+s)%p;                    ll ss=0;                    ll sum=0;                    top=0;                    int i=y+j;                    for(top=0;top<Fc[y][j];top++,i+=j)                    {                        ll k=cas(i,j)-cas(i-j,j);                        sum=(sum+k)%p;                        xhj[top]=k;                        if(top==0){Sum[top]=k;}                        else {Sum[top]=Sum[top-1]+sum;}                    }                    if(t)                    {   ss=(Sum[top-1]+s*top)%p;                        d=(Fc[y][j]*sum)%p;                        ans=(ans+(ss*t)%p+(t*(t-1)/2*d)%p)%p;                        s=(s+(sum*t))%p;                    }                    if(tt){ans=(ans+Sum[tt-1]+(s*tt)%p)%p;}                }            }        }        printf("%I64d\n",(ans+p)%p);    }    return 0;}