高数（一）

为了下个月的高数考试，从今天起的博客会更新跟高数有关的知识点，来强迫我复习高数！！！

第一章第一节：映射与函数

1.1.1集合

集合是具有某种特定性质的实物所组成的全体，通常用大写字母表示。

一集合有限个元素称为有限集，不是有限集的集合称为无限集。

组成集合的各个事物称为该集合的元素，通常用小写字母表示。

表示集合的有两种方法：

1）列举法：把集合的全体元素一一列举出来

2）描述法：M = {x|x具有性质P}

自然数集：N；正自然数集：N+

实数集：R；

整数集：Z;

有理数集：Q；

若x∈A，则必有x∈B，则称为A是B的子集;

若A和B互为子集，则集合A与集合B相等；

若A是B的子集且A与B不相等，则A是B的真子集；

不含任何元素的集合称为空集，空集是任何非空集合的真子集；

集合的运算

集合的基本运算有并、交、差、余4种

并集：A∪B = {X|X∈A或X∈B}

交集：A∩B = {X|X∈A且X∈B}

差集：A\B = {X|X∈A且X∉B}

如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集，此时，则称为集合I为全集或基本集。称I\A为A的余集或补集，记作Ac。

设A、B、C为任意集合

1）交换律：A∪B = B∪A, A∩B = B∩A

2）结合律：（A∪B）∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩（B∩C）

3）分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)

直积（笛卡尔乘积）设A,B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素X,在集合B中任意取一个元素Y，组成一个有序对(X,Y)，把这样的有序对作为新元素，它们的全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记作A×B。即A×B={(X,Y)|X∈A且y∈B}。

邻域：以a为中心的任何开区间都称为点a的邻域，记作U(a)。

1.1.2映射

映射的概念：设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中唯一确定元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。而Y称为元素X的象，元素X称为元素Y的一个原象。

1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域Df = X；集合Y，即值域的范围，Rf属于Y；对应法则f,使得对每个x∈X，都有唯一确定的Y = f(x)与之对应。

2）对每个x，有唯一的y与之对应；而对于一个y，不止一个x与之对应。

Y中的任一元素都是X中某一元素的象，则称f为X到Y上的映射或满射。

1.1.3函数

设数集D属于R，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)。其中x为自变量，y为因变量，D为定义域，记作Df=D。

函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内。

表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法。

分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

函数的特性

1）函数的有界性

2）函数的单调性

3）函数的奇偶性

4）函数的周期性

通常函数的周期是指最小正周期，但并非每个周期函数都有最小正周期。

 

函数的运算

和（差）:f+(-)g(x) = f(x) +(-)g(x)

积：f·g:(f·g)(x) = f(x)·g(x)

商：(f/g)(x) = f(x)/g(x)

 

初等函数：

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这5个函数为基本初等函数。