squee_spoon的神奇预言

　　近日，举世瞩目的人机大战李世石九段对阵Google AlphaGo在首尔四季酒店进行。

　　假设人机大战将进行n盘，已知AI单局的胜率为p%，每局比赛互不影响，AI不会在比完全部n局比赛前增强。人工智能爱好者squee_spoon支持AI获胜，他与朋友打赌AI至少会获得k盘的胜利，如果AI获胜盘数大于等于k，squee_spoon将获得a元，否则他将失去a元。但是，在每一盘比完之后（最后一盘除外），squee_spoon可以向朋友支付b元来使k减少1（当然在任何时候，k必须非负，前n-1局各有一次下调机会）。请问如果squee_spoon使用最优策略，他得到钱数的期望是多少。

　　这是一个作者实际遇到的情况改编成的算法题，解法是概率dp。

　　状态dp(i,j,k)表示“处于已经打了i盘，获胜了j盘，修改了k次的情况下，获得钱数的期望”，再强调一次，是处于某种特定情况下的期望。

　　首先，容易发现i=n的情况是可以直接求出的，因为此时已经打完了全部n盘，胜负已定。若j>=K-k（K是题目给的那个k），squee_spoon获胜，他得到a元且向朋友支付了b*k元；若j<K-k，squee_spoon失败，他失去a元且向朋友支付了b*k元。

　　这样我们可以倒着dp回去。因为除了最后一局，每局打完都需要作出决策，根据当前形势，要么下调，要么不下调，最优决策当然是选择下调和不下调之中期望较高的那种做法。这两个期望可以根据基本概率和期望公式计算，不管下调还是不下调，下一局AI都存在输和赢两种可能，所以就从下局输和赢的期望乘以相应概率转移过来。

　　最后答案就是初始状态，dp(0,0,0)，即一局没打，一局没胜，一次也没调整时，得到钱数的期望。

　　值得一提的是，0.01^200刚好溢出了64位浮点数，但是实际上使用64位浮点数做也可以，因为会溢出的数过小，不影响答案。

#include <bits/stdc++.h>#include <unordered_map>   using namespace std;  #define ll long long#define type long double  type dp[210][210][210]; //打了几把 赢了几把 修正几次 int n,K,pp,a,b;type p;  int main(){    while(cin>>n>>K>>pp>>a>>b){        p = pp/100.0;        for(int i=n;i>=0;i--){            for(int j=i;j>=0;j--){                for(int k=min(n-1,i);k>=0;k--){                    if(i==n){                    //打完的情况，胜负已定，直接算出得到的钱数                         if(j+k>=K){                            dp[i][j][k] = a-k*b;                        }else{                            dp[i][j][k] = -a-k*b;                        }                    }else{                        if(i>0){                        //修正与不修正中，选择期望高的做法。无论哪种做法，下一把都有可能赢或输                             dp[i][j][k] = max(dp[i+1][j+1][k]*p+dp[i+1][j][k]*(1-p),                                dp[i+1][j+1][k+1]*p+dp[i+1][j][k+1]*(1-p));                        }else{                        //没打的时候不能修正                             dp[i][j][k] = dp[i+1][j+1][k]*p+dp[i+1][j][k]*(1-p);                        }                                              }                }            }        }        double ans = dp[0][0][0];        printf("%.6f\n",ans);    }    return 0;}