BZOJ 1022 [SHOI2008]小约翰的游戏John

title: ‘BZOJ 1022 [SHOI2008]小约翰的游戏John’
categories: BZOJ
date: 2016-3-8 21:27:00
tags: [SG函数,博弈论]

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Description

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏：桌子上有n堆石子，小约翰和他的哥哥轮流取石子，每个人取的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一粒石子的人算输。小约翰相当固执，他坚持认为先取的人有很大的优势，所以他总是先取石子，而他的哥哥就聪明多了，他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之前请你来做他的参谋。自然，你应该先写一个程序，预测一下谁将获得游戏的胜利。

Input

本题的输入由多组数据组成，第一行包括一个整数T，表示输入总共有T组数据（T≤500）。每组数据的第一行包括一个整数N（N≤50），表示共有N堆石子，接下来有N个不超过5000的整数，分别表示每堆石子的数目。

Output

每组数据的输出占一行，每行输出一个单词。如果约翰能赢得比赛，则输出“John”，否则输出“Brother”，请注意单词的大小写。

Sample

input.txt
2
3
3 5 1
1
1

output.txt
John
Brother

Solution

这题是经典的Anti-SG游戏（详情见IOI2009国家集训队论文《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》By 贾志豪）
这里直接给出两个结论然后简单证明一下：
1. 当石子堆数均为1且游戏的SG值为0时先手必胜
2. 当石子堆数至少有一堆大于1且游戏的SG值不为0时先手必胜
第一个挺显然的，堆数都是1并且为偶数堆当然会被后手取完。
第二个分情况讨论一下，当只有一堆大于1时，你绝对可以使它达到石子堆数均为1且SG值不为0的状态（先手必败态）；当有多堆大于1时，你可以直接把它取成SG为0且石子堆数不均为1的情况（先手必败态）。当你有多堆大于1且SG为0时，不管怎么取都会变成至少一堆大于1且SG值不为0的情况（先手必败态）。

Code

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#define maxn 5000+5using namespace std;int sg[maxn],mex[maxn];int n,res,flag;void get_sg(){    sg[0]=0;    for(int i=1;i<=5000;i++){        for(int j=1;j<=i;j++) mex[sg[i-j]]=i;        for(int j=0;;j++) if(mex[j]!=i) { sg[i]=j; break; }    }}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);     get_sg();    while(T--){        scanf("%d",&n); res=0; flag=1;        for(int i=1;i<=n;i++){            int x; scanf("%d",&x);            res^=x;             if(x!=1) flag=0;        }        if((flag && res) || (!flag && !res)) puts("Brother");        else puts("John");    }    return 0;   }