初等代数（1）：数的分类、基本运算规律、乘法及其因式分解公式、公式、比例、根式

§1 数的分类和基本运算规律

1.     数的分类  

2.  数的扩张 

    自然数

            （减法）↓

                  整数

             （除法）↓

                  有理数（即分数）

   （极限）↓

      实数

 （代数方程）↓

          复数

3.  基本运算率

 (1)交换率 a+b=b+ a ,  ab=ba

 (2)结合率 ( a+b)+c = a+(b+c) ,  ( ab)c = a(bc)

 (3)分配率  ( a+b)c = ac+bc

§2 乘法及因式分解公式

(1)    (x+a) (x+b) =x² + (a+b)x +ab

(2)    (a±b)²=a² ±2ab+b²

(3)   (a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

(4)   (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

(5)   (a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+ 3a²c+ 3ac²+ 6abc

(6)    a²-b²=(a -b)(a+b)

(7)   a³±b³= (a±b) (a²ab +b²).

(8)   aⁿ-bⁿ= (a-b)(a^n-1 +a^n-2b+a^n-3b² +…+ab^n-2+b^n-1)    (n为正整数)

(9)   aⁿ-bⁿ= (a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…+ab^n-2-b^n-1)      (n为偶数)           

(10)   aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…-ab^n-2+b^n-1)     (n为奇数)

(11)  a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

(12)  a⁴+a²b² + b⁴= (a²+ ab+ b²) (a²-ab +b²)

§3 分式

1.基本性质

    

2.分式运算

1) 加减法  ,    

2) 乘法   

3) 除法   

4) 乘方   

5) 开方   

3.分项分式

在以下各式中，P(x)为多项式，等号左边都是真分式。

1）

2) 式中  A₁, A₂, A₃为待定常数

3) 式中  A₁, A₂, A₃为待定常数

4) 

  式中  x²+px+q为二次质因式；A₁, B₁, A₂, B₂, A₃, B₃为待定常数

5) 

  式中  Q, R, S是一次式或二次质因式；A₁, A₂分别比Q, R 的次数低一次；

        B₁, B₂, B₃都比S的次数低一次.

§4 比例

 设 a : b = c : d  或 , 则  

（1）ad = bc  (外项积等于内项积)

（2）b : a = d : c （反比定理）

（3）a : c = b : d ； d : b = c : a   (更比定理)

（4） (合比定理)

（5） （分比定理）

（6）  (合分比定理)

（7）设   , 则  （等比定理）

（8）若 y 与 x 成正比（或写为 y ∝x）, 则

或  y = kx

式中k为比例常数，下同

（9）若y与x成反比（或写为y ∝）, 则   

y:=k 或 xy = k

§5 根式

   1.算术根

          正数a的正方根 （n是大于1的正整数）叫做算术根，零的算术根规定为零。

          基本性质 

    2.变形规则

1) 

2) 

3) 

4)   

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