pku3372（找规律，公式，推理）

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3372

 

这题有个很神奇的公式，没什么可说的，以下内容转自：LonelyBoy、笨小孩_sunhaowen。

题意：N个小孩围成一个圈，老师 顺时针隔 0， 1， 2， 3，。。。个小孩发糖，问每个小孩是否都能领到糖。

解法很简单 当N是2^K时输出YES，否则输出NO。printf((N & N - 1) ? "NO/n" : "YES/n");

关键这个怎么证明呢。看到Discuss里说和2次剩余有关，但是没有看出来。。。下面给出自己的简易证明。

当N是奇数时，拿 7 为例。当增量大于N时，就mod N，对增量没有影响。

增量 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
编号 0 1 3 6 3 1 0 0 1 3 6 3 1 0

你会看到，这个数列是重复的，重复区间大小是7，再观察着[0, 6]你会发现 这个重复区间是对称的，为什么会这样？

因为 3 + 4 = 7，0 +1 + 2 + 3 + 4的本质就是 0 +1 + 2 所以N为奇数时，他的重复区间都是对称的，所以可知，他最多只能发给 (N + 1) / 2个小孩糖吃，7时为 0 1 3 6 这4个小孩。

所以N为奇数时，一定为NO。

当N是偶数时，又有什么样的景象呢？以 10 为例：

增量 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
编号 0 1 3 6 0 5 1 8 6 5 5 6 8 1 5 0 6 3 1 0

你会发现他是以 2 * N的重复区间出现的。为什么会这样，因为 1 + 9 = 10，2 + 8 = 10。。。

那么 0 + 1 + ....9 % 10 = 5。即 0 + 1 + 。。。N - 1 % N = N / 2。两个区间合起来则又回到了0。

而再次向后加的时候 0 + ... (N - 1) + 0 + 1 = 0 + ...(N - 2) ，和奇数同样的道理，重复区间的内部是对称的。

怎么再次利用这样对称呢，我们发现 出现的编号其实是 从 0 为起点向前走 N / 2步，以及以 N / 2为起点向前走 N / 2步。

在根据编号0，和编号N / 2 在环上的对称性，来解决。

先看 0 的 N / 2步产生的路径L1，是 0 1 3 6 0 ，这里面出来一个大于N / 2的元素 6 。

再看 N / 2 的路径L2， 是 5 6 8 1 5，这里面出现了一个小于N / 2的元素 1。

而6 % 5 = 1。这是由于0和N / 2对称性的关系。

当 0 的 路径L1 中的 位置i的编号j 大于 N / 2，那么 L2中位置i上的编号一定是 j % (N / 2)。

那么我们就可以修改两条路径使其互不侵犯，让L1上所有值都mod (N / 2) ，如果L1能覆盖0 到 N / 2 - 1，则L2即可覆盖 N / 2 到 N - 1。

那么L1本质上就转化成了更小的问题 即 F(N / 2);

写出递归式

           | Yes(N == 1);

F(N) = | F(N / 2) (N & 1 == 0)

           | NO (N & 1 == 1)

所以可知 N 只有为2^K输出YES。

#include <iostream>using namespace std;int main() {int n;while(scanf("%d",&n) != EOF){while(n){if(n&1 && n!=1)break;n >>= 1;}if(n)printf("NO/n");elseprintf("YES/n");}return 0;}