高等数学公式---从数学公式到物理模型

1.复数|共轭复数

1).设复数z=a+bi(a,b∈R)

则复数z的模|z|=√a²+b²,

它的几何意义是复平面上一点(a,b)到原点的距离.

2).共轭复数

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。

例题:已知复数z=(1+i)^2(1+ai)^3且|z|=16 则实数a。        用两边取模方法

解:          等号两边取模|z|=|(1+i)^2(1+ai)^3|

                          16=|(1+i)^2| * |(1+ai)^3|

                          16=|(1+i)|^2 * |(1+ai)|^3 

                          16=(√1+1)^2 * (√1+a^2)^3

                          16=2*[（1+a^2)^(1/2)]^3 

                          即2=（1+a^2)^(1/2) 

                            4=（1+a^2)  得:a=-3 或3

2.级数

将数列un的项 u1，u2，…，un，…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。

如：u1+u2+…+un+…，简写为∑un，un称为级数的通项，记Sn=∑un称之为级数的部分和。如果当n→∞时 ，数列Sn有极限S，则说级数收敛，并以S为其和，记为∑un=S；否则就说级数发散。

3.正交

1).在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

2).在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[t1,t2]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

3).在物理中，将一个力分解为Fx和Fy两个相互垂直的分力的方法，叫作力的正交分解。

4.积分

在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值。

5.向量内积

设二维空间内有两个向量 和 ，它们的夹角为  ，则内积定义为以下实数：

6.线性组合

一些抽象的向量各自乘上一个标量后再相加。标量：标量是只有大小，没有方向的量。

7.无穷级数

无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。

8.卷积

卷积是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。

9.定积分

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。