礼物

礼物

节日到了，JIH决定给他的m个朋友们送礼物。他一共卖了n件礼物，不同的人对JIH来说重要性不同，对于第i个人，JIH会送wi件礼物给她。JIH想知道有多少种方法把礼物送出去，方案数mod p。

Input
第一行一个整数p
第二行两个整数n，m
第三行开始共m行，每行一个整数表示wi

Output
输出一行，包含一个整数，表示ans mod p的值（数据保证有解）

Sample Input
100
4 2
1
2

Sample Output
12

20%的数据n<=10,p为素数
70%的数据n<=10^5,p为素数
100%的数据n,p<=10^9,m<=5
设p=p1^c1*p2^c2*…*pt^ct,pi为质数，保证pi^ci<=10^5

看题第一眼：这是一个人畜无害的题目，求个组合数就可以了。
恩，这么做，送你20分。

第二眼：n<=10^5，p为素数，可以用lucas定理。
{引用百度百科}

数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。
描述为:
Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p) 【照顾一下pascal选手 %=mod，/=div】
Lucas(x,0,p)=1;
而
cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p
也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p
这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p
由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

这么做一遍，可以拿个70分。

剩下的30分，看数据p=p1^c1*p2^c2*…*pt^ct，p不为素数，那就不能用lucas定理了。
怎么做呢。
再仔细看一下数据pi为质数，而且pi^ci<=10^5，那么我们可以分解一下质因数，最后用剩余定理合并一下答案就可以了。
{附上剩余定理}

中国剩余定理：
设 m1,m2,…,mk 是两两互素的正整数，即 gcd(mi,mj) =1,i≠j,i,j = 1,2,…,k
则同余方程组：
x≡b1 （mod m1）
x≡b2 （mod m2）
…
x≡bk （mod mk)
模[m1,m2,…,mk]有唯一解，即在[m1,m2,…,mk]的意义下，存在唯一的 x，满足：
x≡bi mod [m1,m2,…,mk],i = 1,2,…,k
X=∑ bi ∗((p/mi）^−1)∗ (p/mi) mod p

注意1： (p/mi)^−1是（p/mi） 对于 mi 的乘法逆元
即设(p/mi)^-1为n，则n*(p/mi) mod mi=1

【求逆元，我们用扩展gcd跑一遍就可以了。】
{扩展gcd比较简单，不会的百度一下}

注意2：对于最终结果，X应mod p。(不保证数据不会有坑)

分析出思路，我们再来分析一下题目中每个Cnw[i]，发现它们可以合并成一个分式：

n!

w[1]!w[2]!w[3]!………(1-w[1]-w[2]-w[3]-w[4]-…-w[m])!

然后我们将这个式子取模，最后合并，就大功告成了。

想的不错，但还有两个问题：
1.对于n！我们要怎么办，不可能暴力算出结果。
2.对于除法不能直接取模

回答:1.引用题解

对于 n！ mod pi^ci， 我们可以把 n！分组 1~pi-1 、pi+1~2pi-1…… 和 pi 的倍数
注意到 第二组 为 （1+pi），（2+pi）……
把式子展开 得到 （pi-1）！+（pi 的倍数），意味着每组的乘积在 mod pi 下相等
Pi 的倍数都提出一个 pi 得到 （n div pi）！*（pi）^(n div pi)
前项递归处理,后项用变量记录
预处理（pi-1）!的值
这样我们就能用快速幂算出 n！mod pi 的值 复杂度大约为 O(logn*logn+pi^ci)

需要注意的是题解有点问题，即n不一定恰好是pi的倍数，我们要暴力处理一下最后长度不足pi的一段。

回答2.对于除法，我们将它们转换为乘法。
只需要用同样的方法处理w[i]！，然后用扩展gcd求一下逆元，相乘后取模就可以了。

至此，所有问题都已解决。

总结一下：本题是一道数学题，而且需要用很多的时间去分析，还要掌握很多的定理。
对于这种题，不要太纠结，拿个70分就够了。在做完别的题以后再来思考。
要试着从题目中尽可能地发现线索，如本题的数据范围就是一个很好的引子。