方程组的解析解法

方程组的解法

For equation set

AX=P

若矩阵A满秩，则：
1. If A is a square matrix and has A−1, (正定): X=A−1P.
2. If A is not a square matrix，使用广义逆矩阵.
A超定，X=(ATA)−1ATP；
A欠定（大多数情况下），X=AT(AAT)−1P.

A欠定：在图像重建中，意味着 投影线个数 < 图像像素数。在高分辨率下是很容易出现的情况，这也是迭代重建需要提供其他约束的原因。

若矩阵A不满秩，不是方阵，方程组不相容，则：

不满秩：各条投影线可能相关，比如：0度和180度的投影线为同一条，当然相关了；
不是方阵：投影线个数 != 图像像素数，这也是很容易理解的；
不相容：系数矩阵的秩 < 扩展矩阵的秩，这在投影数据含噪声的情况下几乎是必然的。

使用奇异值分解SVD寻找广义解。
Am×n=Um×mΣVTn×n
VTV=In×n
UTU=Im×m
Σm×n=[diag{σi}000]

广义逆矩阵为：
A+=VΣ+UT
其中，
Σ+m×n=[Dr000]
Dr=diag{1σ1,1σ2,...,1σr,0,...,0}
X=A+P=VΣ+UTP