正定、超定、欠定矩阵

正定

定义

广义定义

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有 z′Mz>0，其中z’ 表示z的转置，就称M正定矩阵。[1]
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。

狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z′Mz>0。其中z’表示z的转置。

性质

正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即单位矩阵。

合同矩阵：两个实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得A=PTBP，就称矩阵A和B互为合同矩阵，并且称由A到B的变换叫合同变换。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）是正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0。
2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L∗L'，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。
4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

矩阵的每一行代表一个方程，m行代表m个线性联立方程。 n列代表n个变量。如果m是独立方程数，根据m

超定方程组

方程个数大于未知量个数的方程组。

对于方程组 Ra=y，R为n×m矩阵，如果R列满秩，且n>m。

超定方程一般是不存在解的矛盾方程。

例如，如果给定的三点不在一条直线上，我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。 也就是说给定的条件（限制）过于严格， 导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。

曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以上超定方程组的最小二乘解的问题。

欠定方程组

方程个数小于未知量个数的方程组。

对于方程组Ra=y，R为n×m 矩阵，且n<m。则方程组有无穷多组解，此时称方程组为欠定方程组。

内点法和梯度投影法是目前解欠定方程组的常用方法。