03. 矩阵的逆

可逆矩阵

设矩阵A可逆，其逆矩阵用A−1表示,以下均讨论方阵
则有性质

AA−1=I

I为单位矩阵
首先说下什么情况是不可逆的
设

A=[1 236]

这是一个不可逆矩阵，为什么不可逆呢
假设存在逆矩阵A−1，也就是说

[1 236]A−1=[1 001]

单位矩阵中的第一列应该是A中的两个列向量的线性组合，即

[1 0]=[1 2]∗x+[3 6]∗y

显然我们是找不到这样一个x，y的，所以A是不可逆的
更严谨一点的定义是，对于A，如果能找到一个二维的非0列向量x使得

Ax=0

则A为不可逆的
比如对于例子中，我们能找到

[1 236][3 −1]=[0 0]

为什么这个定义是正确的呢。
假设A是可逆的，且存在一个非0向量x满足Ax=0
那么

Ax=0→A−1Ax=0→Ix=0→x=0

这与x为非0向量矛盾，所以这个定义是正确的

求解逆矩阵

求解逆矩阵的过程仍为消元
设可逆矩阵

A=[1 237]

设其逆矩阵

A−1=[a bcd]

满足下式

[1 237][a bcd]=[1 001]

有

[1 237][a b]=[1 0]

[1 237][c d]=[0 1]

对A进行增广，也即

[AI]=[1 2371001]

以增广矩阵的第一行第一列为主元进行消元

[1 2371001]→[1 0311−201]

以矩阵的第二行第二列为主元进行消元，将矩阵的左半部分消元为单位矩阵

[1 0311−201]→[1 0017−2−31]

矩阵的右半部分就是要求的A−1了
也即

A−1=[7 −2−31]

我们校验一下，计算AA−1

[1 237][7 −2−31]=[1 001]

为什么这么计算是正确的呢
首先，我们对矩阵A进行了增广，得到增广的矩阵

[AI]

然后我们经过多次消元，而由消元矩阵的定义，这多次消元步骤等价于

E∗[AI]

E为消元矩阵
最后我们得到的是

[I?]

也即

E∗[AI]=[I?]

由于E∗A=I，所以E就是A的逆矩阵
所以?=E∗I=A−1∗I=A−1