2014.11.22 差分约束学习笔记

同机房的fye,rivendile大神早就学了很久很久差分约束。。。本蒟蒻却颓了两晚noip2014。。。(orz fye神SD rank 8！！！）于是我觉得不能等了，于是。。。于是。。。

写了一天差分约束啊！！！11道题啊，手都疼了、、、

言归正传，先给出差分约束的定义

         如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。 （摘自百度百科）

其实蛮好懂的。举个例子，若给出a-b<=k1,b-c<=k2;a-c<=k3；那么a-c的最大值是多少，很明显是把三元组转化为求c->a的最短路。反之亦反.

那么，我们可以将给出xj-xi<=k1(1<=i,j<=n)，求xn-x1的最大值，转化为求xn-x1的最短路

                   可以将给出xj-xi>=k1(1<=i,j<=n)，求xn-x1的最小值，转化为求xn-x1的最长路.

特别地，当给出 xj-xi<k1可以转成xj-xi<=ki-1，将 xj-xi>k1可以转成xj-xi>=k1+1,在类似地求出最长（短）路 。

最长（短）路可以用spfa求出，但貌似也可用bellman-ford。。。开始做题！！

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------           codevs 1768 种树2&&3 裸的差分约束系统，但有隐藏条件0<=s[i]-s[i-1]<=a[i]或1 然后将<=a[i]转为>=-a[i]   code：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int point[500001],next[2000001];struct hp{int v,w;}e[2000001];int queue[500001],n,m,head,tail,dis[500001],a[500001];bool exist[500001];int main(){int j,c,num,i,x,y,w,now;scanf("%d%d",&n,&m);    for (i=1;i<=n;++i)  scanf("%d",&a[i]); for (i=1;i<=m;++i)  {    scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);    next[i]=point[x-1]; point[x-1]=i;    e[i].v=y; e[i].w=w;   }num=m;for (i=0;i<=n-1;++i)  {    num++; next[num]=point[i]; point[i]=num; e[num].v=i+1; e[num].w=0;    num++; next[num]=point[i+1]; point[i+1]=num; e[num].v=i; e[num].w=-a[i+1];    }memset(dis,128,sizeof(dis));memset(exist,false,sizeof(exist));memset(queue,0,sizeof(queue)); head=0;tail=1; queue[tail]=0; exist[0]=true; dis[0]=0; while (head!=tail)  {    head=head%30000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;    j=point[now];    while (j!=0)      {        c=e[j].v;if (dis[c]<dis[now]+e[j].w)  {    dis[c]=dis[now]+e[j].w;    if (!exist[c])      {        tail=tail%30000+1;        queue[tail]=c;         exist[c]=true;      }  }j=next[j];          }  }cout<<dis[n]<<endl;}

一道裸的poj差分约束  3159  Candies,题意不再赘述，code：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[150001];int point[30001],n,m,next[150001],s[30001];long long dis[30001];bool exist[30001];using namespace std;int main(){int x,y,z,c,i,top,j,now;scanf("%d%d",&n,&m);for (i=1;i<=m;++i)  {    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);    next[i]=point[x]; point[x]=i;a[i].v=y; a[i].w=z;   }memset(exist,false,sizeof(exist));memset(dis,127,sizeof(dis));memset(s,0,sizeof(s)); top=1; s[1]=1; exist[1]=true; dis[1]=0;while (top>0)  {    now=s[top]; top--; j=point[now]; exist[now]=false;    while (j!=0)      {        c=a[j].v;          if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)          {            dis[c]=dis[now]+a[j].w;            if (!exist[c])              {                top++;                s[top]=c;                exist[c]=true;              }          }        j=next[j];      }  }printf("%lld\n",dis[n]);} 

两道类似于种树2、3的poj1716&&1201 intervals&&integer intervals 注意隐含条件与转化（0<=s[i]-s[i-1]<=1）code（intervals）：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int point[500001],next[2000001];struct hp{int v,w;}e[2000001];int queue[500001],n,m,head,tail,dis[500001],a[500001];bool exist[500001];int main(){int j,c,num,i,x,y,w,now,maxn,minn;scanf("%d",&m); minn=2100000000; maxn=0;for (i=1;i<=m;++i)  {    scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);    maxn=max(maxn,y);    minn=min(minn,x);    next[i]=point[x-1]; point[x-1]=i;    e[i].v=y; e[i].w=w;   }num=m;for (i=minn-1;i<=maxn-1;++i)  {    num++; next[num]=point[i]; point[i]=num; e[num].v=i+1; e[num].w=0;    num++; next[num]=point[i+1]; point[i+1]=num; e[num].v=i; e[num].w=-1;    }memset(dis,128,sizeof(dis));memset(exist,false,sizeof(exist));memset(queue,0,sizeof(queue)); head=0;tail=1; queue[tail]=minn-1; exist[minn-1]=true; dis[minn-1]=0; while (head!=tail)  {    head=head%30000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;    j=point[now];    while (j!=0)      {        c=e[j].v;if (dis[c]<dis[now]+e[j].w)  {    dis[c]=dis[now]+e[j].w;    if (!exist[c])      {        tail=tail%30000+1;        queue[tail]=c;         exist[c]=true;      }  }j=next[j];          }  }cout<<dis[maxn]<<endl;}

poj 3169 Layout 其实很水，只不过出现了判断环，存储一个点进队次数 当其>n时，出现了正（负）环,注意隐含条件 code：

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[100000]; int queue[1001],num[1001],dis[1001],head,tail;int point[1001],next[100001],maxn;bool exist[1001];int main(){bool ff=false;int numx,n,mi,mj,i,j,now,c,x,y,z;freopen("layout.in","r",stdin);freopen("layout.out","w",stdout);scanf("%d%d%d",&n,&mi,&mj);numx=0;for (i=1;i<=mi;++i)  {  numx++;    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);next[numx]=point[x]; point[x]=numx;a[numx].v=y; a[numx].w=z;    }for (i=1;i<=mj;++i)  {    numx++;    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);    next[numx]=point[y]; point[y]=numx;    a[numx].v=x; a[numx].w=-z;  }for (i=2;i<=n;++i)  {    numx++;    next[numx]=point[i]; point[i]=numx;    a[numx].v=i-1; a[numx].w=0;  }memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(exist,false,sizeof(exist));memset(dis,127,sizeof(dis));  maxn=dis[0]; memset(num,0,sizeof(num));head=0;tail=1; queue[tail]=1; exist[1]=true; num[1]++; dis[1]=0;while (head!=tail)  {    head=head%1000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;    j=point[now]; while (j!=0)  {    c=a[j].v;    if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)      {        dis[c]=dis[now]+a[j].w;        if (!exist[c])          {            tail=tail%1000+1;            queue[tail]=c;            num[c]++; exist[c]=true;            if (num[c]>n)              ff=true;          }      }            if (ff) break;    j=next[j];  }    }if (ff) cout<<-1<<endl;else  {    if (dis[n]>=maxn) cout<<-2<<endl;    else cout<<dis[n]<<endl;  }fclose(stdin); fclose(stdout);}

poj 1364 king,很水的一道差分约束,类似前缀和的处理,但有可能出现图不连通的情况,所以要作连通块次数遍spfa,如果出现环,则输出successful conspiracy,正常返回输出lamentable kingdom   code:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[10001];int queue[10001],head,tail,num[10001],dis[10001];int point[10001],next[100001],n,m;bool exist[10001],f[10001];int main(){char kind[2]; bool ff;int i,j,c,now,x,t,k;scanf("%d",&n);while (n!=0)  {  memset(a,0,sizeof(a)); memset(point,0,sizeof(point)); memset(next,0,sizeof(next));    scanf("%d",&m);    for (i=1;i<=m;++i)      {        cin>>x>>t>>kind>>k;        if (kind[0]=='g')          {            next[i]=point[x-1];            point[x-1]=i;            a[i].v=x+t; a[i].w=k+1;          }        if (kind[0]=='l')          {            next[i]=point[x+t];            point[x+t]=i;            a[i].v=x-1; a[i].w=1-k;          }  }memset(f,false,sizeof(f));  ff=false;for (i=1;i<=n;++i)  if (!f[i])    {      memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(num,0,sizeof(num));      memset(dis,128,sizeof(dis)); memset(exist,false,sizeof(exist));       head=0; tail=1; dis[i]=0; queue[tail]=i; num[i]++; exist[i]=true; f[i]=true;      while (head!=tail)        {          head=head%10000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;           j=point[now];  while (j!=0)    {      c=a[j].v;      if (dis[c]<dis[now]+a[j].w)        {          dis[c]=dis[now]+a[j].w;          f[c]=true;          if (!exist[c])            {              exist[c]=true; num[c]++;              tail=tail%10000+1; queue[tail]=c;              if (num[c]>n)                {                  ff=true;                   break;                }            }        }      if (ff) break;  j=next[j];     }   if (ff) break;        }      if (ff) break;    }if (ff) printf("successful conspiracy\n");else printf("lamentable kingdom\n");scanf("%d",&n);  }}

poj 2983 Is the Information Reliable 

一道比较有难度的差分约束，首先，由于题目给出一种情况的是确切的距离，我们可以转化为k<=s[i]-s[j]<=k,进一步变号为{s[j]-s[i]>=-k,s[i]-s[j]>=k},另外一种只说明了某一点与另外一点有位置关系，对此可以转化为s[i]-s[j]>=0，最后跑一遍最长路即可 code:

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[200001];int queue[1001],head,tail,num[1001],dis[1001];int point[1001],next[200001],n,m;bool exist[1001],f[1001];using namespace std;int main(){int i,c,numx,now,j,ai,b; bool ff; char kind;while (scanf("%d%d",&n,&m)==2)  {  numx=0; memset(point,0,sizeof(point)); memset(next,0,sizeof(next)); memset(a,0,sizeof(a));    for (i=1;i<=m;++i)      {        cin>>kind;if (kind=='P')  {     scanf("%d%d%d",&ai,&b,&c);            numx++; next[numx]=point[b]; point[b]=numx; a[numx].v=ai; a[numx].w=c;            numx++; next[numx]=point[ai]; point[ai]=numx; a[numx].v=b; a[numx].w=-c;          }        if (kind=='V')          {            scanf("%d%d",&ai,&b);            numx++; next[numx]=point[b]; point[b]=numx; a[numx].v=ai; a[numx].w=1;           }      }    memset(f,false,sizeof(f)); ff=false;    for (i=1;i<=n;++i)      if (f[i]==false)        {          memset(num,0,sizeof(num)); memset(queue,0,sizeof(queue));          memset(exist,false,sizeof(exist)); memset(dis,128,sizeof(dis));           head=0; tail=1; dis[i]=0; exist[i]=true; queue[tail]=i; num[i]++; f[i]=true;          while (head!=tail)            {              head=head%1000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;  j=point[now];  while (j!=0)    {      c=a[j].v;      if (dis[c]<dis[now]+a[j].w)        {          dis[c]=dis[now]+a[j].w;  f[c]=true;  if (!exist[c])     {      exist[c]=true;      tail=tail%1000+1;      queue[tail]=c;      num[c]++;      if (num[c]>n)        {          ff=true; break;        }    }         }      if  (ff) break;      j=next[j];    }    if  (ff) break;             }          if (ff) break;        }    if (ff) printf("Unreliable\n");    else printf("Reliable\n");  }}

COGS 月考统计  一道比较水的题，但题目要求求出最小值，却给出了s[i]-s[j]<=k的条件，因此需转化为s[j]-s[i]>=-k,另外图也可能不连通，可以加设超级源点0，使其与所有点连通，作为最底成绩0，跑一遍最长路即可。  code:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[50001];int queue[10000],head,tail,dis[10000];int point[10000],next[50001],n,m,num[10000];bool exist[10000];int main(){int i,x,y,z,j,c,now; bool ff=false;freopen("ExamStat.in","r",stdin); freopen("ExamStat.out","w",stdout); scanf("%d%d",&n,&m);for (i=1;i<=m;++i)  {    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);    next[i]=point[x]; point[x]=i;    a[i].v=y; a[i].w=-z;  }for (i=1;i<=n;++i)  {    next[m+i]=point[0]; point[0]=m+i;a[m+i].v=i; a[m+i].w=0;   }memset(num,0,sizeof(num)); memset(dis,128,sizeof(dis));memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(exist,false,sizeof(exist));head=0; tail=1; queue[tail]=0; num[0]++; dis[0]=0; exist[0]=true;while (head!=tail)  {    head=head%10000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;    j=point[now];    while (j!=0)      {        c=a[j].v;         if (dis[c]<dis[now]+a[j].w)          {            dis[c]=dis[now]+a[j].w;            if (!exist[c])              {                num[c]++; exist[c]=true;                tail=tail%10000+1;                queue[tail]=c;                if (num[c]>n)                  {                    ff=true;                    break;                  }              }          }        j=next[j];        if (ff) break;      }    if (ff) break;  }if (ff) printf("SOMEONE LAY!");else   {    for (i=1;i<=n;++i)      printf("%d ",dis[i]);printf("\n");   } fclose(stdin); fclose(stdout);}

以下两题需先循环起点，根据长度推出终点

COGS 01串
题目较之前发生了变化，给出两个不相干的条件，a0<=s[i][0]-s[j][0]<=b0,a1<=s[i][1]-s[j][1]<=b1,但仔细观察可知，区间长度一定，可以将其全部转化为0的情况i-j+1-b1<=s[i][0]-s[j][0]<=i-j+1-a1,再就是隐含条件0<=s[i][0]-s[j][0]<=1,再都转化为<=，跑一遍最短路，输出每个点的1-(dis[i]-dis[i-1](零的个数))。。。code:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[10000];int queue[1001],head,tail,num[1001],dis[1001];int point[1001],next[10001],n,a0,b0,l0,a1,b1,l1;bool exist[1001];int main(){int i,nx=0,now,c,j; bool ff=false;freopen("sequence.in","r",stdin); freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%d%d%d%d%d%d%d",&n,&a0,&b0,&l0,&a1,&b1,&l1);for (i=1;i<=n;++i)  {    nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i; a[nx].w=1;    nx++; next[nx]=point[i]; point[i]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=0;  }for (i=1;i<=n-l0+1;++i)  {    nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i+l0-1; a[nx].w=b0;nx++; next[nx]=point[i+l0-1]; point[i+l0-1]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=-a0;   }for (i=1;i<=n-l1+1;++i)  {    nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i+l1-1; a[nx].w=l1-a1;nx++; next[nx]=point[i+l1-1]; point[i+l1-1]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=b1-l1;   }    memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(dis,127,sizeof(dis));memset(exist,false,sizeof(exist)); memset(num,0,sizeof(num)); ff=false;head=0; tail=1; queue[tail]=0; dis[0]=0; exist[0]=true; num[0]++;while (head!=tail)  {    head=head%1000+1; now=queue[head]; exist[now]=false;    j=point[now];    while (j!=0)      {        c=a[j].v;        if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)          {            dis[c]=dis[now]+a[j].w;            if (!exist[c])              {                exist[c]=true; tail=tail%1000+1;                queue[tail]=c; num[c]++;                if (num[c]>n)                  {                    ff=true;                    break;                  }              }          }        j=next[j];        if (ff) break;      }    if (ff) break;  }if (ff) printf("-1\n");else  {    for (i=1;i<=n;++i)      {        if (dis[i]-dis[i-1]==1)          printf("0");        else          printf("1");      }    printf("\n");  }fclose(stdin); fclose(stdout);}

COGS 数列问题

基本同上一题，但给出的是s[i]-s[j]>0或s[i]-s[j]<0,所以转化为s[j]-s[i]<=-1或s[i]-s[j]<=-1,此题依旧可能不连通，连通块遍spfa。。。输出dis[i]-dis[i-1];

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;struct hp{int v,w;}a[2000];int queue[101],head,tail,dis[101],num[101];int point[101],next[2000],n,p,q;bool exist[101],f[101];int main(){int i,nx=0,now,j,c; bool ff=false;freopen("topoa.in","r",stdin); freopen("topoa.out","w",stdout);scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);for (i=1;i<=n-p+1;++i)  {nx++; next[nx]=point[i+p-1]; point[i+p-1]=nx; a[nx].v=i-1; a[nx].w=-1;}for (i=1;i<=n-q+1;++i)  {nx++; next[nx]=point[i-1]; point[i-1]=nx; a[nx].v=i+q-1; a[nx].w=-1;}memset(f,0,sizeof(f));for (i=0;i<=n;++i)  if (!f[i])    {    {      memset(queue,0,sizeof(queue)); memset(num,0,sizeof(num));      memset(exist,false,sizeof(exist));      head=0; tail=1; queue[tail]=i; if (i!=0)dis[i]=dis[i-1]; else dis[i]=0; num[i]++; exist[i]=true; f[i]=true;      while (head!=tail)        {          head=head%100+1; now=queue[head]; exist[now]=false;          j=point[now];          while (j!=0)            {              c=a[j].v;              if (dis[c]>dis[now]+a[j].w)                {                  dis[c]=dis[now]+a[j].w;                  f[c]=true;                  if (!exist[c])                    {                      exist[c]=true; num[c]++; tail=tail%100+1;                      queue[tail]=c;                      if (num[c]>n)                        {                          ff=true; break;                        }                    }                }              j=next[j];              if (ff) break;            }          if (ff) break;        }      if (ff) break;         }if (ff) printf("no\n");else      {        for (i=1;i<=n;++i)          printf("%d ",dis[i]-dis[i-1]);        printf("\n");      }    fclose(stdin); fclose(stdout);  }

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------                                                                                                                                                                                                                                                                                          Lcomyn

                                                                                                                                                                                                                                                                                   2014.11.22&&23