[笔记]: 差分约束

差分约束系统

形如这个样子：

X1 - X2 <= 0
X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1
X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4
X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3
X5 - X4 <= -3

比如要求  满足此条件的 x1x2x3x4x5和的最小值

怎么做呢? 此时把式子传化一下 如  X4-X5>=3 (一定带等于) 再变成 X4>=X5+3

如求最小值 就是大于等于 小于反之

然后转换为最长路 从X4连一条权值为3的边到X5 像这样子连 然后求最长路（spfa）

最后得到的d[n]就是最小答案 

例题

bzoj2330糖果

2330: [SCOI2011]糖果

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 6176  Solved: 2034
[Submit][Status][Discuss]

Description

幼儿园里有N个小朋友，lxhgww老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候，lxhgww需要满足小朋友们的K个要求。幼儿园的糖果总是有限的，lxhgww想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

Input

输入的第一行是两个整数N，K。

接下来K行，表示这些点需要满足的关系，每行3个数字，X，A，B。

如果X=1， 表示第A个小朋友分到的糖果必须和第B个小朋友分到的糖果一样多；

如果X=2， 表示第A个小朋友分到的糖果必须少于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=3， 表示第A个小朋友分到的糖果必须不少于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=4， 表示第A个小朋友分到的糖果必须多于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=5， 表示第A个小朋友分到的糖果必须不多于第B个小朋友分到的糖果；

Output

输出一行，表示lxhgww老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出-1。

Sample Input

5 7
1 1 2
2 3 2
4 4 1
3 4 5
5 4 5
2 3 5
4 5 1

Sample Output

11

HINT

【数据范围】

    对于30%的数据，保证 N<=100

    对于100%的数据，保证 N<=100000

对于所有的数据，保证 K<=100000，1<=X<=5，1<=A, B<=N

Source

Day1

题解

对于每种情况 列出一个不等式 在传化成上面说的样子连边 求最长路

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<queue>#define N 100005using namespace std;struct edge{int to,w,next;}e[1000005];long long ans=0;int n,k;int start=0,cnt;int head[N],d[N],ct[N],flag[N];void insert(int x,int y,int z){e[++cnt].to=y;e[cnt].w=z;e[cnt].next=head[x];head[x]=cnt;}queue<int>q; bool spfa(){memset(d,-1,sizeof(d));q.push(start);d[start]=0;ct[start]=1;flag[start]=1;while(!q.empty()){int k=q.front();q.pop();flag[k]=0;for(int i=head[k];i;i=e[i].next){int kk=e[i].to;if(d[kk]<d[k]+e[i].w){d[kk]=d[k]+e[i].w;if(!flag[kk]){flag[kk]=1;ct[kk]++;if(ct[kk]>=n) return 0;q.push(kk);}}}}return 1;}int main(){scanf("%d%d",&n,&k);int x,a,b;for(int i=1;i<=k;i++){scanf("%d%d%d",&x,&a,&b);switch(x){ case 1:insert(a,b,0);insert(b,a,0);break;            case 2:if(a==b){printf("-1");return 0;}insert(a,b,1);break;            case 3:insert(b,a,0);break;            case 4:if(a==b){printf("-1");return 0;}                insert(b,a,1);break;            case 5:insert(a,b,0);break;} }for(int i=n;i>=1;i--)insert(start,i,1);//有一个坑爹的点就是形成的是十万个点的一条链，如果从0到所有点顺序加边就会T，改成倒序就ACif(!spfa()) {printf("-1");return 0;}for(int i=1;i<=n;i++) ans+=d[i];printf("%lld",ans);return 0;}