第三讲，我们来谈谈：“二进制的负数”

首先，你要记住并且不要问为什么：“在计算机中，所有的数据，最终都是使用二进制数表达的。”

还要记住并且不要问为什么：“在计算机中，正数是直接用原码来表示和存储的。”

要记住并且不要问为什么：“在计算机中，负数是以它的补码(即它的反码+1)来表示和存储的。”

对于允许是负数的数值(称为带符号的数值)，必须先确定一个固定的长度(换言之，就是二进制数的位数)，再把最左边的最高位设置为符号位。必须固定位数，这样才能避免符号位与其他位的混淆。

只要知道每个数值的位数，就可以找到符号位，它应是最左边的那一位。如果符号位是0，该数值就是正的；如果它是1，该数值就是负的。

⑴原码表示法规定：套用十进制的思路，用最左边的最高位来表示该数的符号位（0表示正数，1表示负数），剩余的其他位数用来表示该数的绝对值。（关键：理解符号位和其他位数）

⒈原码：一个整数，按照其绝对值大小转换成二进制数，并在最左边的最高位用0或1来表示其正负，称为原码。

例①：正数 5 的原码是：0000 0101。

    而负数 -5 的原码是：1000 0101。

⒉反码：将原码，除符号位外的其他位数每一位按位取反，所得到的新的二进制数，称为反码。（口诀：符号位不变，其他位取反）

⑵反码表示法规定：零、正数的反码与原码相同，负数的反码为对该数的原码除符号位外每一位取反。

例②：正数 5 的反码与原码相同：0000 0101。

    而负数 -5 的原码是：1000 0101，对该数的原码除符号位外每一位取反，得到反码：1111 1010。

⒊补码：反码加1，称为补码。（口诀：符号位不变，其他位先取反再加1）

⑶补码表示法规定：零、正数的补码与原码相同，负数的补码为对该数的原码除符号位外每一位取反，然后在最后一位加1。

例③：正数 5 的补码与原码相同：0000 0101。

    而负数 -5 的原码是：1000 0101，对该数的原码除符号位外每一位取反，然后在最后一位加1，得到补码：1111 1011。

所以，在计算机中，负数 -5 是以它的补码(即它的反码+1)：1111 1011 来表示和存储的。

⑷不管是正数还是负数，其反码或补码的最高位，都是和原码的最高位一样！（请看原码表示法的规定，还有反码表示法和补码表示法的规定！）

  因为，正数的反码或补码，都是与原码相同，所以最高位是不变的。

  因为，负数的反码或补码，都是在原码的基础上，保持最高位不变，其他位数每一位取反，甚至在最后一位加1。

以上都是教我们，把我们熟悉的十进制的正数或负数，转化成计算机熟悉的二进制的数：

（十进制：原码->符号位不变，先取反->反码->再加1->补码）

那反过来，看到计算机熟悉的二进制的正数或负数，如何转换成我们熟悉的十进制的数？

（补码->先减1->反码->符号位不变，再取反->原码：十进制）

首先，要知道该二进制数的最高位：如果最左边的最高位（即符号位）为0则是正数，为1则是负数。

　　二进制的正数，要转换成十进制，请先将其写成“加权系数展开式”，然后用“按位权相加”法，即可转换成十进制。

　　二进制的负数，要转换成十进制，首先要理解上面的“在计算机中，负数是以它的补码(即它的反码+1)来表示和存储的”这句话的精髓，然后反过来逆推（符号位不变，其他位先减1再取反）：

例⑤：十进制的 -10 在原码表示法里，其原码是：1000 1010；对该数的原码除符号位外每一位取反，得到反码：1111 0101，然后在最后一位加1，得补码：1111 0110。

反过来逆推，二进制的 1111 0110（可理解为已知补码），先减1，得出（反码）：1111 0101；除符号位外每一位取反，得出（原码）：1000 1010；它在原码表示法里，最高位1表示负数，剩余的其他位数表示该数的绝对值，得：-10。

再看看逆推过程：

1111 0110

先     -1

---------

1111 0101

再取反：

---------

1000 1010 = 在原码表示法里，最高位1表示负数，剩余的其他位数表示该数的绝对值，得：-10。

（这是按照补码的原理来逆推原码。相当于只有0点和6点的钟，原来在0点，逆时针拨可到6点）

试试对该二进制数求补码：

1111 0110

先取反：

---------

1000 1001

再     +1

---------

1000 1010 = 用原码表示法来理解，也是十进制中的 -10。

（原码取反加1得补码，补码取反加1也得出原码。这是抖机灵。相当于只有0点和6点的钟，原来在0点，顺时针拨也可到6点）

⑸如果已知补码求原码，可将补码过程逆推（即符号位不变，其他位先减1再取反）即得到原码，亦可将该补码再求补码（即符号位不变，其他位先取反再加1）也能得到原码。

　　其实，看到某个二进制数，你可以理解为已经知道补码，只需用上面定律⑸求出原码，最后将原码转换成十进制，不就行了？

⑹一个二进制数，如果每位取反（最高位符号位也取反，所以不是反码），取反得到的值和原来的值，相加等于-1。（不是0，也不是1）

　　所以，求某个二进制数取反的值，可用：-1-（该二进制数的值），即该二进制数的值的相反数减1。