错排问题 考新郎 hdu2049

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

这个题还需要从n个新郎里面选m个，所以最后答案就是D(m)*C(n,m);

/******************** * Author:fisty * Data:2014-10-23 * hdu 2049 * 错排 * *****************/#include <cstdio>using namespace std;#define MAX_N 25typedef long long ll;ll D[MAX_N] = {0,0,1};ll C[MAX_N][MAX_N];int main(){        int t;        scanf("%d", &t);        //求错排公式        for(int i = 3;i <= MAX_N; i++){                D[i] = (i-1) * (D[i-1]+D[i-2]);            }        //组合公式C(m,n);        for(int i = 0;i <= MAX_N; i++){                C[i][0] = 1;                C[i][i] = 1;        }        for(int i = 2;i <= MAX_N; i++){                for(int j = 1;j < i; j++){                        C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];                }        }        while(t--){                int n, m;                scanf("%d%d", &n, &m);                printf("%I64d\n", C[n][m]*D[m]);        }        return 0;}