【POJ3461】KMP算法理解 for 初学者

KMP算法

 

用途：求多字符串最长连续公共子串。或言用模式串b在字符串a中进行匹配。

 

例：a串：abbabcabababc

b串：ababc

最长连续公共子串即为a串最末的ababc

经典求法：

枚举a串的每个字符，以其为开始节点，枚举能匹配的最长长度，即比较a[i+j-1]是否等于b[j]，相等则j++，不相等则跳出循环，记录f[i]=j-1得到以b串i为开始在a串中能匹配的最长长度，但这样的时间复杂度可以粗估计为O（lena*lenb）；

这种枚举法简单易懂好实现，但是却会有很多冗余的操作。

比如以a串为abababc，b串为ababc，以a[1]为开始节点枚举到a[5]时，一看’a’!=’c’,失配!那这个时候如果按照经典算法就需要记录f[1]=4，然后以a[2]为开始节点重新枚举,可是这样有必要么？没有！我们完全可以把当前状态当作以a[3]为开始节点,而b串才刚刚匹配到第三个,这样是不是快了很多呢?这就是KMP算法的意义,而KMP又是如何将其实现的呢?

 

首先,由本应该由a[2]开始的枚举被缩进到了a[3],甚至我们都不需要从a[3]开始枚举,而是可以直接枚举a[5]与b[3]是否匹配,这个缩进过程就是kmp的精髓所在.而它为何可以直接从if(a[5]==b[3])开始呢?

仔细观察,b[1]==b[3],而b[2]==b[4]也就是说我们匹配到b[4]==a[4]时,实际上有a[4]==b[4]==b[2]&&a[3]==b[3]==b[1],这样一旦b[5]!=a[5],我们仍然有b[1]==a[3],b[2]==a[4],使得若b[3]==a[5],那么到a[5]这,依然可以有以其为末尾的公共连续子串,从另一方面讲,这相当于b串以a[3]为开头,在a中寻找公共连续子串,找到了3个的效果,只是快了很多.

但是这一切都是建立在我们知道b[1]==b[3],b[2]==b[4]的基础之上的，而这一步骤又是如何实现的呢？

 

我们可以通过建立一个数组pre,pre[i]表示模式串b在长度为i时的最长前缀长度,而这个前缀长度满足b的前pre[i]个和b从i倒数pre[i]个这么多个字符严格有序匹配.

比如ababxaba，pre数组为｛0，0，1，2，0，1，2，3｝,为什么不是｛1，2，3，4，5，6，7，8｝呢？哦，我忘了说了，这个前缀还需要满足其为b串在长度为i时的真子串。

那么这个数组是怎么得到的呢？首先我们int一个“fix”表示目前前缀长度，若匹配成功，即b[fix+1]==b[i]，则fix++没疑问吧？但是真正的精髓在于它如何处理失配情况：

while(fix&&b[fix+1]!b[i])fix=pre[fix];

而整个处理过程则为

for(fix=0,i=2;b[i]!=’\0’;i++){while(fix&&b[fix+1]!b[i])fix=pre[fix];if(b[fix+1]!b[i])fix++;pre[i]=fix;}

这个东西你手动模拟一下，再试试将while行语句和if行语句换个位置，感受一下代码的错误原因，理解就深刻多了。

比如defdekdefxdefdekdefdef，i枚举到最后一个d时，fix=9，此时失配，于是fix=pre[fix]=3,匹配上了，所以pre[i]=3+1=4;即此时能匹配4个，那这是为什么呢？我们分析若这个‘d’==该匹配到的‘x’，那么前缀的defdekdefx就==后缀的defdekdefd，但是失配了，而原来的最长前缀defdekdef中有最长前缀def==其后缀def==defdekdefxdefdekdef中最后的def，所以此时def依然既是模式串b的前缀，又是其后缀，所以若b[4]==’d’，那么依然是defdekdefxdefdekdefd中的最长前缀。

如此以来，我们就求得了模式串b的前缀数组。

前缀数组模板题为poj2752

Kmp裸题为poj3461

Poj3461题意，在目标串中求模式串出现最大次数，因为fix是目前匹配到的最长长度，所以只需要在fix==模式串长度时ans++即可，代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define N 1000using namespace std;int pre[N];char s[N];int main(){freopen("test.in","r",stdin);int n,i,len;scanf("%s",s+1);n=1;memset(pre,0,sizeof(pre));while(s[n]!='\0')n++;/*pre[1]=0,len=0;*/for(i=2;i<n;i++){while(len&&s[i]!=s[len+1])len=pre[len];if(s[i]==s[len+1])len++;pre[i]=len;}return 0;}/*两组利于理解的求自匹配前缀的模式串！efgdekxefgdefgenddefdekdefxdefdekdefdef*/

PS：手调有助于深刻理解。

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