[LeetCode系列]卡特兰数(Catalan Number) 在求解独特二叉搜寻树(Unique Binary Search Tree)中的应用分析
来源:互联网 发布:拍淘宝送小礼品 微信 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 02:10
本文原题: LeetCode.
给定 n, 求解独特二叉搜寻树 (binary search trees) 的个数.
什么是二叉搜寻树?
二叉查找树(Binary Search Tree),或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
举个栗子,
给定 n = 3, 共有 5 个.
1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3
本题的解题思路如下:
设n对应的BST个数为h(n), n-1对应的个数为h(n-1)...依此类推.
那么,
- 把1放在根节点, 2...n放在右侧, 总种类是h(1) * h(n-1)
- 把2放在根节点, 1放在左侧, 3...n放在右侧, 总种类是h(2) * h(n-2)
- ....
- 把n放在根节点, 1...n-1放在左侧, 总种类是h(n-1) * h(1)
所以h(n) = h(1) * h(n-1) + h(2) * h(n-2) +...+ h(n-2) * h(2) + h(n-1) * h(1)
上述h(n)表达式即为卡特兰数.(幽兰止水的CSDN博客)
下面是实现的C++代码:
class Solution {public: int numTrees(int n) { if (n < 0) return 0; vector<int> h(n+1, 0); h[0] = 1; for(int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 0; j < i; j++) h[i] += h[j] * h[i-j-1]; return h[n]; }};
第一行做输入检测.
第二, 三行定义树的种类向量h, 长度为n+1, 定义h[0]值为1, 因为1节点的情况下只有1种可能.
之后是一个二层嵌套for循环, 大循环控制计算h的下标i, 小循环按照i的值依次计算h[1,2,3,...,n].
详细讲一下小循环, h[i]是当前计算的种类数, 它等于h[0]*h[i-1] + h[1]*h[i-2] + ... + h[i-1]*h[0] 和上面提到的卡特兰数相符. (需要注意的是, 每层小循环都需要前i-1个h的值.)
返回的是h[n], 即h向量中的第n+1个数, 但对应于n个节点的情况.
[本代码存疑]
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