MST 最小生成树

最小生成树的定义：

在一给定的无向图G=（U，V）中,（U，V）代表链接顶点U，V的边，而W（U，V）代表此边的权重，若存在T为E（无向图边的集合）的子集（）且为无循环图，使得：

的W(T)最小，则此T为G的最小生成树(最小权重生成树的简称)。

性质：

• 最小生成树的边数必然是顶点数减一，|E| = |V| - 1。

• 最小生成树不可以有循环。

• 最小生成树不必是唯一的。

Prim算法实现：（适合求稠密图的最小生成树问题）

伪代码：

PrimMST(G,T){
    //T是边的集合，U是顶点的集合；
    //u,v是顶点，设任意顶点为v0
    T=空;U={v0};
    while(U!=V){
        找出一条满足u属于U且v属于V-U的权值最小的边(u，v);
        T=T并{(u,v)};  //集合的并运算
        U=U并{v};
    }
}

/*==================================================*\| Prim 求MST| INIT: cost[][]耗费矩阵(inf为无穷大，表示两个顶点之间不连通，（u，v）不属于E);| CALL: prim(cost, n); 返回-1代表原图不连通;\*==================================================*/#define typec int // type of costconst typec inf = 0x3f3f3f3f; // max of costint vis[V]; typec lowc[V];typec prim(typec cost[][V], int n){ // vertex: 0 ~ n-1    int i, j, p;    typec minc, res = 0;    memset(vis, 0, sizeof(vis));    vis[0] = 1;    for (i=1; i<n; i++) lowc[i] = cost[0][i];    for (i=1; i<n; i++) {    minc = inf; p = -1;    for (j=0; j<n; j++)        if (0 == vis[j] && minc > lowc[j]) {        minc = lowc[j]; p = j;    }    if (inf == minc) return -1; // 原图不连通    res += minc; vis[p] = 1;    for (j=0; j<n; j++)        if (0 == vis[j] && lowc[j] > cost[p][j])            lowc[j] = cost[p][j];    }    return res;   //返回最小权值和}

Kruskal算法：（适合求稀疏图的最小生成树的问题）

将所有边排序，记第i小的边为e[i](1<=i<m)
初始化MST为空
初始化连通分量，让每个点成为一个独立的连通分量
for(int i=0;i<m;i++)
　　if(e[i].u和e[i].v不在同一连通分量中)
    {
　　　　把边e[i]加入MST
　　　　合并e[i].u和e[i].v所在的连通分量
　　}

struct edge{    int u, v, w;};const int NODE_NUM = 102;edge e[NODE_NUM*NODE_NUM];int father[NODE_NUM];int n, ne;    //n是顶点的个数，ne是边的个数bool cmp(const edge& a, const edge& b){    return a.w < b.w;   //return a.w > b.w; ---是求最大生成树}void make_set(){    for (int i = 1; i <= n; ++i)        father[i] = i;}int find_set(int i){    if (father[i] != i){        father[i] = find_set(father[i]);    }    return father[i];}bool union_set(int a, int b) //a --> b{    a = find_set(a);    b = find_set(b);    if (a != b){  //没有共同祖先，说明没有形成回路        father[a] = b; //将节点纳入最小生成树集合        return true;    }    else{        return false;    }}int kruskal(){    int i, mst_edge = 0, sum = 0;    make_set();    sort(e, e+ne, cmp);  //将边按升序排序    for (i = 0; i < ne; ++i){        //如果加入的边不会使树形成回路        if (union_set(e[i].u, e[i].v)){            sum += e[i].w;            //如果纳入的边数等于顶点数-1，则说明最小生成树形成            if (++mst_edge == n - 1){                return sum;    //如果图是连通图，返回权值            }        }    }    return mst_edge;   //如果不是连通图，则返回最大的连通（可以是多个生成树）的边的个数，}//边的信息的输入int main(){    //代码     scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);  //有向边的输入    //代码    return 0;}