Box2d源码学习<四>数学库API的实现

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为了满足Box2d中所要用到的数学知识，在Box2d的公共模块中，包含了一个小巧而简便的向量矩阵的数学库。这部分所有的定义实现均有结构体实现的，所以其内部的成员均对外部公开，所以你可以任意使用和访问。该部分主要由以下内容：

a)、向量，包括二维列向量和三维列向量

b)、矩阵，包括2X2矩阵和3X3矩阵

c)、旋度、扫描、和变换的实现

d)、其他部分的实现

 

一、向量部分

1、 二维列向量的实现

 //2d列向量struct b2Vec2{/*************************************************************************** 功能描述：构造函数，不做任何事，仅仅为了性能* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Vec2() {}/*************************************************************************** 功能描述：构造函数，构建使用的坐标* 参数说明： x:x坐标             y:y坐标* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Vec2(float32 x, float32 y) : x(x), y(y) {}/*************************************************************************** 功能描述：将向量置0* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetZero() { x = 0.0f; y = 0.0f; }/*************************************************************************** 功能描述：将向量设置成指定的坐标* 参数说明： x_:x坐标             y_:y坐标* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Set(float32 x_, float32 y_) { x = x_; y = y_; }/*************************************************************************** 功能描述：将向量取反，重载 - 运算符* 参数说明： (void)* 返 回 值： 一个新的二维向量**************************************************************************/b2Vec2 operator -() const { b2Vec2 v; v.Set(-x, -y); return v; }/*************************************************************************** 功能描述：读取指定索引的元素，重载 () 运算符* 参数说明： i ：索引值* 返 回 值： 列中对应索引元素值**************************************************************************/float32 operator () (int32 i) const{return (&x)[i];}/*************************************************************************** 功能描述：改写指定索引的元素，重载 () 运算符* 参数说明： i ：索引值* 返 回 值： 列中对应索引元素的引用**************************************************************************/float32& operator () (int32 i){return (&x)[i];}/*************************************************************************** 功能描述：与另一个向量相加* 参数说明： v ：向量的引用* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void operator += (const b2Vec2& v){x += v.x; y += v.y;}/*************************************************************************** 功能描述：与另一个向量相减* 参数说明： v ：向量的引用* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void operator -= (const b2Vec2& v){x -= v.x; y -= v.y;}/*************************************************************************** 功能描述：与标量相乘* 参数说明： a ：标量* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void operator *= (float32 a){x *= a; y *= a;}/*************************************************************************** 功能描述：获取向量的长度* 参数说明： (void)* 返 回 值： 向量长度**************************************************************************/float32 Length() const{return b2Sqrt(x * x + y * y);}/*************************************************************************** 功能描述：获取向量的长度的平方。出于性能要求，            使用此函数代替b2Vec2::Legth函数（如果可能的话）* 参数说明： (void)* 返 回 值： 向量长度的平方**************************************************************************/float32 LengthSquared() const{return x * x + y * y;}/*************************************************************************** 功能描述：将该向量转变成单位向量* 参数说明： (void)* 返 回 值： 向量长度[注意是未转变之前的长度]**************************************************************************/float32 Normalize(){//获取该向量的长度并验证其有效性float32 length = Length();if (length < b2_epsilon){return 0.0f;}//获取要转换单位向量的因子,并与x、y轴相乘float32 invLength = 1.0f / length;x *= invLength;y *= invLength;return length;}/*************************************************************************** 功能描述：该向量包含的坐标值是否有效* 参数说明： (void)* 返 回 值： 是否有效**************************************************************************/bool IsValid() const{return b2IsValid(x) && b2IsValid(y);}/*************************************************************************** 功能描述：获取斜对称向量(反对称向量),dot(skew_vec, other) == cross(vec, other)* 参数说明： (void)* 返 回 值： 斜对称向量(反对称向量)**************************************************************************/b2Vec2 Skew() const{return b2Vec2(-y, x);}//向量元素的x，y值float32 x, y;};

2、 三维列向量的实现

//2d三维列向量struct b2Vec3{/*************************************************************************** 功能描述：默认构造函数，不做任何事，仅仅为了性能* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Vec3() {}/*************************************************************************** 功能描述：构造函数，构建使用的坐标* 参数说明： x:x坐标             y:y坐标* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Vec3(float32 x, float32 y, float32 z) : x(x), y(y), z(z) {}/*************************************************************************** 功能描述：将向量置0* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetZero() { x = 0.0f; y = 0.0f; z = 0.0f; }/*************************************************************************** 功能描述：将向量设置成指定的坐标* 参数说明： x_:x坐标             y_:y坐标 x_:z坐标* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Set(float32 x_, float32 y_, float32 z_) { x = x_; y = y_; z = z_; }/*************************************************************************** 功能描述：将向量取反，重载 - 运算符* 参数说明： (void)* 返 回 值： 一个新的三维向量**************************************************************************/b2Vec3 operator -() const { b2Vec3 v; v.Set(-x, -y, -z); return v; }/*************************************************************************** 功能描述：与另一个向量相加* 参数说明： v ：向量的引用* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void operator += (const b2Vec3& v){x += v.x; y += v.y; z += v.z;}/*************************************************************************** 功能描述：与另一个向量相减* 参数说明： v ：向量的引用* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void operator -= (const b2Vec3& v){x -= v.x; y -= v.y; z -= v.z;}/*************************************************************************** 功能描述：与一个标量相乘* 参数说明： s  :标量 * 返 回 值： (void)**************************************************************************/void operator *= (float32 s){x *= s; y *= s; z *= s;}//向量的元素值float32 x, y, z;};

二、 矩阵
1、2X2矩阵的实现

//2X2矩阵，存储方式以列为主的顺序struct b2Mat22{/*************************************************************************** 功能描述：默认构造函数不做任何事情(仅仅为了性能)* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Mat22() {}/*************************************************************************** 功能描述：使用列向量构造这个矩阵* 参数说明： c1  ：第一列向量             c2  ：第二列向量* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Mat22(const b2Vec2& c1, const b2Vec2& c2){ex = c1;ey = c2;}/*************************************************************************** 功能描述：使用标量构造这个矩阵* 参数说明： a11-a22:四个元素值* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Mat22(float32 a11, float32 a12, float32 a21, float32 a22){ex.x = a11; ex.y = a21;ey.x = a12; ey.y = a22;}/*************************************************************************** 功能描述：使用列实例话这个矩阵* 参数说明： c1:列向量             c2:列向量* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Set(const b2Vec2& c1, const b2Vec2& c2){ex = c1;ey = c2;}/*************************************************************************** 功能描述：设置成单位矩阵* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetIdentity(){ex.x = 1.0f; ey.x = 0.0f;ex.y = 0.0f; ey.y = 1.0f;}/*************************************************************************** 功能描述：将该矩阵置0* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetZero(){ex.x = 0.0f; ey.x = 0.0f;ex.y = 0.0f; ey.y = 0.0f;}/*************************************************************************** 功能描述：获取逆矩阵,            逆矩阵B = A的伴随矩阵/A的行列式            参照 http://zh.wikipedia.org/wiki/逆矩阵* 参数说明： (void)* 返 回 值： 逆矩阵**************************************************************************/b2Mat22 GetInverse() const{float32 a = ex.x, b = ey.x, c = ex.y, d = ey.y;b2Mat22 B;float32 det = a * d - b * c;                   //获取行列式的值                      if (det != 0.0f){det = 1.0f / det;}B.ex.x =  det * d;B.ey.x = -det * b;B.ex.y = -det * c;B.ey.y =  det * a;return B;}/*************************************************************************** 功能描述：解决A*x = b,其中b是一个列向量            这比一次性求反计算更有效率* 参数说明： b : 列向量* 返 回 值： 列向量**************************************************************************/b2Vec2 Solve(const b2Vec2& b) const{float32 a11 = ex.x, a12 = ey.x, a21 = ex.y, a22 = ey.y;//获取行列式的值float32 det = a11 * a22 - a12 * a21;       if (det != 0.0f){det = 1.0f / det;}b2Vec2 x;//[ a22 -a12] * [b.x] = [a22 * b.x - a12*b.y] //[-a21  a11]   [b.y]   [a11 * b.y - a21*b.x]x.x = det * (a22 * b.x - a12 * b.y);x.y = det * (a11 * b.y - a21 * b.x);return x;}//两个列向量b2Vec2 ex, ey;};

2、3X3矩阵的实现

//3X3矩阵，存储方式以列为主的顺序struct b2Mat33{/*************************************************************************** 功能描述：默认构造函数不做任何事情(仅仅为了性能)* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Mat33() {}/*************************************************************************** 功能描述：使用列向量构造这个矩阵* 参数说明： c1  ：第一列向量             c2  ：第二列向量* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Mat33(const b2Vec3& c1, const b2Vec3& c2, const b2Vec3& c3){ex = c1;ey = c2;ez = c3;}/*************************************************************************** 功能描述：将该矩阵置0* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetZero(){ex.SetZero();ey.SetZero();ez.SetZero();}/*************************************************************************** 功能描述：解决A*x = b,其中b是一个三维列向量            这比一次性求反计算更有效率* 参数说明： b : 三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/b2Vec3 Solve33(const b2Vec3& b) const;/*************************************************************************** 功能描述：解决A*x = b,其中b是一个二维列向量            这比一次性求反计算更有效率仅仅解决2X2的矩阵等式* 参数说明： b : 三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/b2Vec2 Solve22(const b2Vec2& b) const;/*************************************************************************** 功能描述：获取2X2的逆矩阵,            如果出现异常则置为0矩阵            逆矩阵B = A的伴随矩阵/A的行列式* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void GetInverse22(b2Mat33* M) const;/*************************************************************************** 功能描述：获取3X3的对称逆矩阵            如果出现异常则置为0矩阵* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void GetSymInverse33(b2Mat33* M) const;//矩阵的3个列向量b2Vec3 ex, ey, ez;};

在ccp文件中Mat33结构部分函数的实现：

//解决 A * x =b,其中b是列向量b2Vec3 b2Mat33::Solve33(const b2Vec3& b) const{float32 det = b2Dot(ex, b2Cross(ey, ez));if (det != 0.0f){det = 1.0f / det;}b2Vec3 x;x.x = det * b2Dot(b, b2Cross(ey, ez));x.y = det * b2Dot(ex, b2Cross(b, ez));x.z = det * b2Dot(ex, b2Cross(ey, b));return x;}//解决 A * x =b,其中b是列向量b2Vec2 b2Mat33::Solve22(const b2Vec2& b) const{float32 a11 = ex.x, a12 = ey.x, a21 = ex.y, a22 = ey.y;float32 det = a11 * a22 - a12 * a21;if (det != 0.0f){det = 1.0f / det;}b2Vec2 x;x.x = det * (a22 * b.x - a12 * b.y);x.y = det * (a11 * b.y - a21 * b.x);return x;}//获取2X2的逆矩阵//如果出现异常则置为0矩阵void b2Mat33::GetInverse22(b2Mat33* M) const{float32 a = ex.x, b = ey.x, c = ex.y, d = ey.y;float32 det = a * d - b * c;if (det != 0.0f){det = 1.0f / det;}M->ex.x =  det * d;M->ey.x = -det * b; M->ex.z = 0.0f;M->ex.y = -det * c;M->ey.y =  det * a; M->ey.z = 0.0f;M->ez.x = 0.0f; M->ez.y = 0.0f; M->ez.z = 0.0f;}//获取3X3的对称矩阵的逆矩阵，如果出现异常则置为0矩阵void b2Mat33::GetSymInverse33(b2Mat33* M) const{float32 det = b2Dot(ex, b2Cross(ey, ez));if (det != 0.0f){det = 1.0f / det;}float32 a11 = ex.x, a12 = ey.x, a13 = ez.x;float32 a22 = ey.y, a23 = ez.y;float32 a33 = ez.z;M->ex.x = det * (a22 * a33 - a23 * a23);M->ex.y = det * (a13 * a23 - a12 * a33);M->ex.z = det * (a12 * a23 - a13 * a22);M->ey.x = M->ex.y;M->ey.y = det * (a11 * a33 - a13 * a13);M->ey.z = det * (a13 * a12 - a11 * a23);M->ez.x = M->ex.z;M->ez.y = M->ey.z;M->ez.z = det * (a11 * a22 - a12 * a12);}

三、 旋度、转换、扫描部分
1、 旋度的实现

//旋度 http://zh.wikipedia.org/wiki/旋度struct b2Rot{/*************************************************************************** 功能描述：默认构造函数不做任何事情(仅仅为了性能)* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Rot() {}/*************************************************************************** 功能描述：用角的弧度初始化* 参数说明： anlge:弧度值* 返 回 值： (void)**************************************************************************/explicit b2Rot(float32 angle){/// TODO_ERIN optimizes = sinf(angle);c = cosf(angle);}/*************************************************************************** 功能描述：用角的弧度设置* 参数说明： anlge:弧度值* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Set(float32 angle){/// TODO_ERIN optimizes = sinf(angle);c = cosf(angle);}/*************************************************************************** 功能描述：设置成单位旋度* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetIdentity(){s = 0.0f;c = 1.0f;}/*************************************************************************** 功能描述：用弧度得到角度* 参数说明： (void)* 返 回 值： 角度值**************************************************************************/float32 GetAngle() const{return b2Atan2(s, c);}/*************************************************************************** 功能描述：获取x-axis* 参数说明： (void)* 返 回 值： 列向量**************************************************************************/b2Vec2 GetXAxis() const{return b2Vec2(c, s);}/*************************************************************************** 功能描述：获取u-axis* 参数说明： (void)* 返 回 值： 列向量**************************************************************************/b2Vec2 GetYAxis() const{return b2Vec2(-s, c);}//定义sin和cosfloat32 s, c;};

2、 变换的实现

///变换包括平移和旋度，它是用来表示位置和精确方向的框架struct b2Transform{/*************************************************************************** 功能描述：默认构造函数，什么都不做* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Transform() {}/*************************************************************************** 功能描述：用一个位置向量和一个旋度进行初始化* 参数说明： position ：位置向量             rotation ：旋度* 返 回 值： (void)**************************************************************************/b2Transform(const b2Vec2& position, const b2Rot& rotation) : p(position), q(rotation) {}/*************************************************************************** 功能描述：设置单位变换* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void SetIdentity(){p.SetZero();q.SetIdentity();}/*************************************************************************** 功能描述：基于角的弧度和位置设置* 参数说明： position：位置向量             angle   ：角的弧度* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Set(const b2Vec2& position, float32 angle){p = position;q.Set(angle);}//成员变量，一个向量和一个旋度b2Vec2 p;b2Rot q;};

3、 扫描的实现

//描述运动的body/shape的TOI(Time of Impact)的计算。//形状相对于主体原点定义的，这可能没有一致的原点。//但是，为了支持动态我们必须篡改质心位置struct b2Sweep{/*************************************************************************** 功能描述：在特定时间里获得窜改变换* 参数说明： xfb   :变换的指针             beta  :一个因子，在[0,1]之间，0表示alpha0* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void GetTransform(b2Transform* xfb, float32 beta) const;/*************************************************************************** 功能描述：推进缓慢向前移动，产生一个新的初始状态* 参数说明：alpha:新的初始时间* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Advance(float32 alpha);/*************************************************************************** 功能描述：标准化角度* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/void Normalize();b2Vec2 localCenter;///质心位置b2Vec2 c0, c;///世界的中心位置float32 a0, a;///世界角度//分数，当前时间步长，范围[0,1]之间float32 alpha0;};

四、 其它
在b2Math.h的开始部分

/*************************************************************************** 功能描述：用来确保一个浮点数不是一个NaN或无穷大* 参数说明： x :数值* 返 回 值： true ：有效             false: 无效**************************************************************************/inline bool b2IsValid(float32 x){if (x != x){// NaN.return false;}float32 infinity = std::numeric_limits<float32>::infinity();return -infinity < x && x < infinity;}/*************************************************************************** 功能描述：一个近似且快速的平方根倒数算法[x^ (-1/2) ]            可以参照 http://zh.wikipedia.org/wiki/平方根倒数速算法            或 http://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root* 参数说明： x :数值* 返 回 值： 平方根倒数**************************************************************************/inline float32 b2InvSqrt(float32 x){union{float32 x;int32 i;} convert;convert.x = x;float32 xhalf = 0.5f * x;convert.i = 0x5f3759df - (convert.i >> 1);x = convert.x;x = x * (1.5f - xhalf * x * x);                  //第一次牛顿迭代return x;}//平方根宏#defineb2Sqrt(x)std::sqrt(x)//对于任意不同时等于0的实参数x和y，//atan2(y,x)所表达的意思是坐标原点为起点，//指向(y,x)的射线在坐标平面上与x轴正方向之间的角的角度度//参照 http://zh.wikipedia.org/wiki/Atan2#defineb2Atan2(y, x)std::atan2(y, x)/*************************************************************************** 功能描述：计算两个向量的点积,注：a = b时，表示向量长度的平方* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： 点积值**************************************************************************/inline float32 b2Dot(const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return a.x * b.x + a.y * b.y;}/*************************************************************************** 功能描述：计算两个向量的叉积，在2d中这是一个标量* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： 叉积值**************************************************************************/inline float32 b2Cross(const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return a.x * b.y - a.y * b.x;}

结尾部分：

/*************************************************************************** 功能描述：计算向量和标量的叉积* 参数说明： a :二维列向量             s :标量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2Cross(const b2Vec2& a, float32 s){return b2Vec2(s * a.y, -s * a.x);}/*************************************************************************** 功能描述：计算标量和向量的叉积* 参数说明： s :标量             a :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2Cross(float32 s, const b2Vec2& a){return b2Vec2(-s * a.y, s * a.x);}/*************************************************************************** 功能描述：一个矩阵乘以一个向量* 参数说明： a :2X2矩阵             v :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2Mul(const b2Mat22& A, const b2Vec2& v){return b2Vec2(A.ex.x * v.x + A.ey.x * v.y, A.ex.y * v.x + A.ey.y * v.y);}/*************************************************************************** 功能描述：一个转置矩阵乘以一个向量* 参数说明： a :2X2矩阵             v :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2MulT(const b2Mat22& A, const b2Vec2& v){return b2Vec2(b2Dot(v, A.ex), b2Dot(v, A.ey));}/*************************************************************************** 功能描述：计算两个向量按分量逐个相加* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 operator + (const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return b2Vec2(a.x + b.x, a.y + b.y);}/*************************************************************************** 功能描述：计算两个向量按分量逐个相减* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 operator - (const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return b2Vec2(a.x - b.x, a.y - b.y);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算标量和向量相乘* 参数说明： s :标量             a :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 operator * (float32 s, const b2Vec2& a){return b2Vec2(s * a.x, s * a.y);}/*************************************************************************** 功能描述： 判断两个向量是否相等* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： true ：相等             flase：不相等**************************************************************************/inline bool operator == (const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return a.x == b.x && a.y == b.y;}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两向量之间的距离* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： 距离**************************************************************************/inline float32 b2Distance(const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){b2Vec2 c = a - b;return c.Length();}/*************************************************************************** 功能描述： 获取两向量之间距离的平方* 参数说明： a :二维列向量             b :二维列向量* 返 回 值： 距离的平方**************************************************************************/inline float32 b2DistanceSquared(const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){b2Vec2 c = a - b;return b2Dot(c, c);   }/*************************************************************************** 功能描述： 一个标量和一个3维列向量相乘* 参数说明： s :标量             a :三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/inline b2Vec3 operator * (float32 s, const b2Vec3& a){return b2Vec3(s * a.x, s * a.y, s * a.z);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个向量按分量逐个相加* 参数说明： a :三维列向量             b :三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/inline b2Vec3 operator + (const b2Vec3& a, const b2Vec3& b){return b2Vec3(a.x + b.x, a.y + b.y, a.z + b.z);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个向量按分量逐个相减* 参数说明： a :三维列向量             b :三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/inline b2Vec3 operator - (const b2Vec3& a, const b2Vec3& b){return b2Vec3(a.x - b.x, a.y - b.y, a.z - b.z);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个向量的点积* 参数说明： a :三维列向量             b :三维列向量* 返 回 值： 点积值**************************************************************************/inline float32 b2Dot(const b2Vec3& a, const b2Vec3& b){return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个相邻的叉积* 参数说明： a :三维列向量             b :三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/inline b2Vec3 b2Cross(const b2Vec3& a, const b2Vec3& b){return b2Vec3(a.y * b.z - a.z * b.y, a.z * b.x - a.x * b.z, a.x * b.y - a.y * b.x);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个2X2矩阵相加* 参数说明： a :2X2矩阵             b :2X2矩阵* 返 回 值： 2X2矩阵**************************************************************************/inline b2Mat22 operator + (const b2Mat22& A, const b2Mat22& B){return b2Mat22(A.ex + B.ex, A.ey + B.ey);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个2X2矩阵相乘* 参数说明： a :2X2矩阵             b :2X2矩阵* 返 回 值： 2X2矩阵**************************************************************************/inline b2Mat22 b2Mul(const b2Mat22& A, const b2Mat22& B){return b2Mat22(b2Mul(A, B.ex), b2Mul(A, B.ey));}/*************************************************************************** 功能描述： 计算一个转置矩阵和矩阵相乘* 参数说明： a :2X2矩阵             b :2X2矩阵* 返 回 值： 2X2矩阵**************************************************************************/inline b2Mat22 b2MulT(const b2Mat22& A, const b2Mat22& B){b2Vec2 c1(b2Dot(A.ex, B.ex), b2Dot(A.ey, B.ex));b2Vec2 c2(b2Dot(A.ex, B.ey), b2Dot(A.ey, B.ey));return b2Mat22(c1, c2);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算一个矩阵和向量相乘* 参数说明： a :3X3矩阵             v :三维列向量* 返 回 值： 三维列向量**************************************************************************/inline b2Vec3 b2Mul(const b2Mat33& A, const b2Vec3& v){return v.x * A.ex + v.y * A.ey + v.z * A.ez;}/*************************************************************************** 功能描述： 计算一个矩阵和二维列向量相乘* 参数说明： a :3X3矩阵             v :二维列向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2Mul22(const b2Mat33& A, const b2Vec2& v){return b2Vec2(A.ex.x * v.x + A.ey.x * v.y, A.ex.y * v.x + A.ey.y * v.y);}/*************************************************************************** 功能描述： 计算两个旋度的乘积* 参数说明： q :旋度             r :旋度* 返 回 值： 旋度**************************************************************************/inline b2Rot b2Mul(const b2Rot& q, const b2Rot& r){// [qc -qs] * [rc -rs] = [qc*rc-qs*rs -qc*rs-qs*rc]// [qs  qc]   [rs  rc]   [qs*rc+qc*rs -qs*rs+qc*rc]// s = qs * rc + qc * rs// c = qc * rc - qs * rsb2Rot qr;qr.s = q.s * r.c + q.c * r.s;qr.c = q.c * r.c - q.s * r.s;return qr;}/*************************************************************************** 功能描述： 计算一个转置旋度和一个旋度的乘积* 参数说明： q :旋度             r :旋度* 返 回 值： 旋度**************************************************************************/inline b2Rot b2MulT(const b2Rot& q, const b2Rot& r){// [ qc qs] * [rc -rs] = [qc*rc+qs*rs -qc*rs+qs*rc]// [-qs qc]   [rs  rc]   [-qs*rc+qc*rs qs*rs+qc*rc]// s = qc * rs - qs * rc// c = qc * rc + qs * rsb2Rot qr;qr.s = q.c * r.s - q.s * r.c;qr.c = q.c * r.c + q.s * r.s;return qr;}/*************************************************************************** 功能描述： 旋转一个向量* 参数说明： q :旋度             v :向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2Mul(const b2Rot& q, const b2Vec2& v){// [qc -qs] * [vx] = [qc*vx-qs*vy qs*vx+qc*vy]// [qs  qc]   [vy]   return b2Vec2(q.c * v.x - q.s * v.y, q.s * v.x + q.c * v.y);}/*************************************************************************** 功能描述： 反旋转一个向量* 参数说明： q :旋度             v :向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2MulT(const b2Rot& q, const b2Vec2& v){// [ qc  qs] * [vx] = [qc*vx+qs*vy -qs*vx+qc*vy]// [-qs  qc]   [vy]   return b2Vec2(q.c * v.x + q.s * v.y, -q.s * v.x + q.c * v.y);}/*************************************************************************** 功能描述： 变换一个向量* 参数说明： T :变换             v :向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2Mul(const b2Transform& T, const b2Vec2& v){// [qc -qs] * [vx]  = [qc*vx-qs*vy qs*vx+qc*vy]// [qs  qc]   [vy]  float32 x = (T.q.c * v.x - T.q.s * v.y) + T.p.x;float32 y = (T.q.s * v.x + T.q.c * v.y) + T.p.y;return b2Vec2(x, y);}/*************************************************************************** 功能描述： 反变换一个向量* 参数说明： T :变换             v :向量* 返 回 值： 二维列向量**************************************************************************/inline b2Vec2 b2MulT(const b2Transform& T, const b2Vec2& v){//( [vx] - [tpx] ) *[ qc qs] = [vx - tpx] *[ qc qs]//( [vy]   [tpy] )  [-qs qc]   [vy - tpy]  [-qs qc]float32 px = v.x - T.p.x;float32 py = v.y - T.p.y;float32 x = (T.q.c * px + T.q.s * py);float32 y = (-T.q.s * px + T.q.c * py);return b2Vec2(x, y);}/*************************************************************************** 功能描述： 变换一个变换             v2 = A.q.Rot(B.q.Rot(v1) + B.p) + A.p     = (A.q * B.q).Rot(v1) + A.q.Rot(B.p) + A.p* 参数说明： a :变换             b :变换* 返 回 值： 变换**************************************************************************/inline b2Transform b2Mul(const b2Transform& A, const b2Transform& B){b2Transform C;C.q = b2Mul(A.q, B.q);C.p = b2Mul(A.q, B.p) + A.p;return C;}/*************************************************************************** 功能描述：反变换一个变换            v2 = A.q' * (B.q * v1 + B.p - A.p)= A.q' * B.q * v1 + A.q' * (B.p - A.p)* 参数说明： a：变换             b:变换* 返 回 值： 变换***************************************************************************/inline b2Transform b2MulT(const b2Transform& A, const b2Transform& B){b2Transform C;C.q = b2MulT(A.q, B.q);C.p = b2MulT(A.q, B.p - A.p);return C;}/*************************************************************************** 功能描述：取绝对值函数* 参数说明： a：标量 * 返 回 值： 标量***************************************************************************/template <typename T>inline T b2Abs(T a){return a > T(0) ? a : -a;}/*************************************************************************** 功能描述：取向量的绝对值* 参数说明： A：二维列向量* 返 回 值： 二维列向量***************************************************************************/inline b2Vec2 b2Abs(const b2Vec2& a){return b2Vec2(b2Abs(a.x), b2Abs(a.y));}/*************************************************************************** 功能描述：取2X2矩阵的绝对值* 参数说明： A：2X2矩阵* 返 回 值： 2X2矩阵***************************************************************************/inline b2Mat22 b2Abs(const b2Mat22& A){return b2Mat22(b2Abs(A.ex), b2Abs(A.ey));}/*************************************************************************** 功能描述：获得最小值函数* 参数说明： a : 标量             b : 标量* 返 回 值： 标量***************************************************************************/template <typename T>inline T b2Min(T a, T b){return a < b ? a : b;}/*************************************************************************** 功能描述：获得最小向量值* 参数说明： a : 二维向量             b : 二维向量* 返 回 值： 二维向量***************************************************************************/inline b2Vec2 b2Min(const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return b2Vec2(b2Min(a.x, b.x), b2Min(a.y, b.y));}/*************************************************************************** 功能描述：获得最大值函数* 参数说明： a : 标量             b : 标量* 返 回 值： 标量***************************************************************************/template <typename T>inline T b2Max(T a, T b){return a > b ? a : b;}/*************************************************************************** 功能描述：获得最大向量值* 参数说明： a : 二维向量             b : 二维向量* 返 回 值： 二维向量***************************************************************************/inline b2Vec2 b2Max(const b2Vec2& a, const b2Vec2& b){return b2Vec2(b2Max(a.x, b.x), b2Max(a.y, b.y));}/*************************************************************************** 功能描述：获得low到high之间的值* 参数说明： a ，low,high:都是标量* 返 回 值： 标量***************************************************************************/template <typename T>inline T b2Clamp(T a, T low, T high){return b2Max(low, b2Min(a, high));}/*************************************************************************** 功能描述：获得两向量之间的向量* 参数说明： a ，low,high:都是二维向量* 返 回 值： 二维向量***************************************************************************/inline b2Vec2 b2Clamp(const b2Vec2& a, const b2Vec2& low, const b2Vec2& high){return b2Max(low, b2Min(a, high));}/*************************************************************************** 功能描述：交换两个标量* 参数说明： (void)* 返 回 值： (void)**************************************************************************/template<typename T> inline void b2Swap(T& a, T& b){T tmp = a;a = b;b = tmp;}/*************************************************************************** 功能描述：下一个最大2的幂            给你一个二进制整数x。通过swar算法计算出下一个最大2的幂            递归的折叠高位bit到低位中去。* 参数说明： x:需要判断的值* 返 回 值： (void)**************************************************************************/inline uint32 b2NextPowerOfTwo(uint32 x){x |= (x >> 1);x |= (x >> 2);x |= (x >> 4);x |= (x >> 8);x |= (x >> 16);return x + 1;}/*************************************************************************** 功能描述：判断是否是2的幂* 参数说明： x:需要判断的值* 返 回 值： (void)**************************************************************************/inline bool b2IsPowerOfTwo(uint32 x){bool result = x > 0 && (x & (x - 1)) == 0;return result;}/*************************************************************************** 功能描述：在特定时间里获得窜改变换* 参数说明： xfb   :变换的指针         beta  :一个因子，在[0,1]之间，0表示alpha0* 返 回 值： (void)**************************************************************************/inline void b2Sweep::GetTransform(b2Transform* xf, float32 beta) const{xf->p = (1.0f - beta) * c0 + beta * c;float32 angle = (1.0f - beta) * a0 + beta * a;xf->q.Set(angle);// Shift to originxf->p -= b2Mul(xf->q, localCenter);}/*************************************************************************** 功能描述：推进缓慢向前移动，产生一个新的初始状态* 参数说明：alpha:新的初始时间* 返 回 值： (void)**************************************************************************/inline void b2Sweep::Advance(float32 alpha){b2Assert(alpha0 < 1.0f);float32 beta = (alpha - alpha0) / (1.0f - alpha0);c0 = (1.0f - beta) * c0 + beta * c;a0 = (1.0f - beta) * a0 + beta * a;alpha0 = alpha;}/*************************************************************************** 功能描述：标准化角（以弧度为单位）在-pi和pi之间* 参数说明：alpha:新的初始时间* 返 回 值： (void)**************************************************************************/inline void b2Sweep::Normalize(){float32 twoPi = 2.0f * b2_pi;float32 d =  twoPi * floorf(a0 / twoPi);a0 -= d;a -= d;}

还有就是b2Vec2_zero的声明和定义：

声明：

//有用的常量extern const b2Vec2 b2Vec2_zero;

定义：

//声明一个二维零向量const b2Vec2 b2Vec2_zero(0.0f, 0.0f);

以上就是box2d中所使用的数学库和相关的API接口，上面的注释已详细说明其作用，这里就不在阐述了。如遇到相关数学方面的知识，个人建议维基百科，那里比较全，而且很详细。另外，如有什么不妥、错误之处望高手指出。