foj1081等分液体

http://acm.fzu.edu.cn/status.php?pid=1081

今天在看贪心，看了一阵子去翻了下各个公司的笔试算法题，又看到那道分液体的题，想起来foj上这道，bfs的方法不会，索性去推导，推了一会儿才发现满简单的。L=m+n，m》n。

比如输入130=85+45，有65=85-20=45-25=85-60=85-45-15=45-30=85-55=85-45-10=45-35=85-50=85-45-5=45-40=85-45，然后从后面往前操作就可以了，这个过程是唯一的最小操作步骤的解，比如65=85-20，还可写成65=130-65=45+20，可是这2种形式都没意义，130-65本身就利用结果65了，45+20表示的是在小容器加入20的液体也是没意义的，因为会溢出，换句话说操作的最后一步一定是从85的容器中倒出20的液体，我们能组合出20的体积问题就解决了，这个20的液体又必须且只能通过45的容器来得到，如果利用85的那就写成20=85-65了明显回去了，这个过程就好比2个人背靠背坐着，相互借力维持平衡。这样有解的情况我们就解决了，那么无解的情况呢，我们看个例子。

90=60+30,45=60-15=30-15=60-45，是的很容易就发现了，回推的过程会出现循环，这个例子还好循环的数字就是第一个，有些例子是从中间开始循环的，我们如果记录下所有的过程又会有些麻烦，其实这个可以用鸽笼原理来解决，我们每次推导的数字都是小于m的，如果循环（推导）的步数超过m那么就一定出现循环了，即无解的情况，写程序的时候我们发现m是需要变化的，那也不妨放大至L就是了。其实这题无解的时候是可以判断出来的。这里提个定理：如果 （a,b）=1,那么一定存在x，y，使得ax+by=1。

应用到我们这个题，上式进一步写成 anx+bny=n*1；意思就是对于给定的m，n我们能组合出的体积一定是他们公约数的整数倍，对于（60,30）=30，我们只能组合出30n形式的体积，45当然不行。

附上代码吧：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int t[2],n,i,k,Case,m;cin>>Case;while(Case--)  //样例数{cin>>n>>t[0]>>t[1];if(n%2!=0){cout<<"no"<<endl;continue;}else{m=n/2;k=0;i=0;  //k:循环访问控制，i: 操作次数while(i<=150){m=t[k]-m;i++;k=(k+1)%2;while(m>=t[k])m-=t[k],i++;if(m==0)break;}if(i<150)cout<<i+i-1<<endl;elsecout<<"no"<<endl;}}return 0;}

4.19：今天上午讨论课，师兄论文讲得天书一样，想到这个程序提交时看到最短的代码不到300B，应该有更简单的方法：设（m,n）=c,那么有ans=L/c-1，这个不是凭空想象的，可以证明，有点罗嗦，这里就不写了。写完后代码降了一半多O(∩_∩)O~。