各位和整除数的问题

设某特定的数为，该数的所有位数之和可被该数整除，比如说 12 => 1 + 2 = 3|12。给定 n，找出所有小于 n 的满足该条件的整数的个数。

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若可以这么想：比如说，举一个响亮点儿的数：69吧。6 + 9 = 15->1 + 5 = 6，也就是直到加为一个个位数的话，那么这个数，将是原数除以9的余数。也有人将这一余数称为数的“根”。

ttklboy同学对此给了详细的思想：

每个数的各位相加的和就是该数除9的余数。

当余数是 0 或 1 时，这个数一定满足条件。比如 1，10，19，28。

当余数是 2 时，这个数可以表示为 2＋9*x，当x为偶数时，该数满足条件，x为奇数时，不满足条件，所有余数为2 的数中有一半满足条件。

余数是 4 时，这个数可以表示为 4＋9*x，当x是4的整数倍时，该数满足条件，所以余数为4的数中有四分之一满足条件。

余数为 5，7，8 时情况相似。

而余数为 3 时，该数可以表示为 3＋9*x，该数一定满足条件，因为式中 9 就是 3 的倍数。

余数为 6 时，该数可表示为 6+9*x，该数只有一半满足条件，因为只要保证 x 为偶数就可以。

我将他的思想实现如下：

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#include <iostream>  
using namespace std;  
void main()  
{  
    const unsigned long n = 100;  
    if ( n < 10 ) cout << "结果为：" << n << endl;  
    else 
    {  
        // a 表示分为多少长度为 9 的段，b 表示分段后剩下的数，c 对所有段的每一列进行加合  
        // 每段从余数为 1 起，到余数为 0 结束  
        // a 初始 - 1 表示不算一位数的那一段，即 x 不得为 0  
        unsigned long a = n / 9 - 1;  
        unsigned long b = n % 9;  
        unsigned long c = a + a + a / 2 + a + a / 4 + a / 5 + a / 2 + a / 7 + a / 8;  
        a++; // 恢复计算所有段，包括一位数段  
        // 剩余的几个数所在的段可能满足条件  
        c += ( b >= 1 );   
        c += ( b >= 2 && a % 2 == 0 ); // 因为一位数段必满足条件， 相当于从两位数段开始计算  
        c += ( b >= 3 );               // 并计算到剩余数所在的段  
        c += ( b >= 4 && a % 4 == 0 );  
        c += ( b >= 5 && a % 5 == 0 );  
        c += ( b >= 6 && a % 2 == 0 );  
        c += ( b >= 7 && a % 7 == 0 );  
        c += ( b >= 8 && a % 8 == 0 );  
        cout << "结果为：" << c + 9 << endl;  
    }  
    system("pause");  
} 
#include <iostream>
using namespace std;
void main()
{
    const unsigned long n = 100;
    if ( n < 10 ) cout << "结果为：" << n << endl;
    else
    {
        // a 表示分为多少长度为 9 的段，b 表示分段后剩下的数，c 对所有段的每一列进行加合
        // 每段从余数为 1 起，到余数为 0 结束
        // a 初始 - 1 表示不算一位数的那一段，即 x 不得为 0
        unsigned long a = n / 9 - 1;
        unsigned long b = n % 9;
        unsigned long c = a + a + a / 2 + a + a / 4 + a / 5 + a / 2 + a / 7 + a / 8;
        a++; // 恢复计算所有段，包括一位数段
        // 剩余的几个数所在的段可能满足条件
        c += ( b >= 1 );
        c += ( b >= 2 && a % 2 == 0 ); // 因为一位数段必满足条件， 相当于从两位数段开始计算
        c += ( b >= 3 );               // 并计算到剩余数所在的段
        c += ( b >= 4 && a % 4 == 0 );
        c += ( b >= 5 && a % 5 == 0 );
        c += ( b >= 6 && a % 2 == 0 );
        c += ( b >= 7 && a % 7 == 0 );
        c += ( b >= 8 && a % 8 == 0 );
        cout << "结果为：" << c + 9 << endl;
    }
    system("pause");
} 

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但原题不是这样的，只许合一次，不迭代。

但是这种思想还是值得扩展的。

试想，还以 69  这个响亮的数字来举例，6+9 = 15，那么 69-15 呢？54，是9的倍数！

我试了好多数，发现，对于数 n，设 f(n) 为 n 的各位加和，则 n = f(n) + 9x ！

好了，如果想满足条件，则必须 f(n) | 9x，也就是说，9x 共有多少个约数，对于此特定的 x，就有多少个 n 满足条件。

设 x = a^p + b^q + c^r +.....，其中 a, b, c 为质数，p,q,r 为指数，则 x 的从 1 到 x 的全约数个数为 (p+1)(q+1)(r+1).......注意这里，全约数的个数，就是符合条件的 f(n) 的个数，也就是符合条件的 n 的个数。别忘了，这里还有一个 9 = 3^2 的事儿。若 x 含有质因数 3，需要合并进去，否则的话，9x 的全约数的个数还要乘以一个 (2 + 1)

这就好办了！对于 9x <= n / 2 以内的部分，直接可以通过求质约数的分布，由上式直接得出个数，但是对于 n/2 到 n 的部分，需要考虑 f(n) + 9x 会超过 n 的情况，注意这里 f(n) 属于集合 {m| 9x % m == 0 }。这里，由于 f(n) 最大可为 9x，故而以 n / 2 为分界。目前没有找到好办法，似乎必须把所有约数给算出来，而不单单是数个数就完了的……

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