竟争分析_MTF算法

1.自组织表

在介绍竟争分析前，我首先介绍一下自组织表，竟争分析就是在自组织表基础下进行分析的。

对于一个有n个元素的列表，从中查找一个元素，查找所要的时间与该元素的位置有关？？我们就需要设计一个算法，对列表进行优化，使查找所需要的时间复杂度最小。

对于一个操作序列，列表优化有两种：

（1）在线优化：我们不知道下一个查找的元素，对序列进行优化。

（2）离线优化：我们已经预知了所有查找的元素，根据这来对序列进行优化。

这两种优化都是使查找所需的时间复杂度最小。

自组织表的元素被访问后，该元素再次被访问的概率就会变大，可以将该元素与其前驱相置换（即将该元素放到列表开头），这样就可以减少下次访问的时间。

2.竞争分析

在进行竞争分析前，我们首先要明白分析什么？？当然对于一个算法，通常就是时间复杂度和空间复杂度的分析。我们这里的分析是时间复杂度的分析。一般而言，分析时间复杂度都是求算法时间复杂度的上限，即最坏情况分析，同样我们也来分析一波。

我们的算法是将访问的元素放到列表最前面，如果你是竞争者，你会以怎样的访问顺序来访问该列表，使该列表的查找所耗的时间最长。当然是选择该列表的逆序进行访问，这样算法的时间复杂度就是O（S*N）,S代表你的访问次数，N代表列表的元素。对于一个在线算法，最坏情况不可避免，所以分析该算法的平均复杂度或许意义更大一些。

下面我们来分析一下该算法的平均复杂度！

竞争分析的定义是：在线算法A是 的竞争，对于满足任意操作的序列S，运行A算法，,其中Copt(s)代表离线最优算法的复杂度，可能是函数或者常量。

定理：自组织表中的MTF算法，是四竞争的。（即不管选择多么糟糕，都不操作4）

下面来对这个定理进行证明：

定义1：设Li表示第i次访问后优化的MTF表，设L_i表示离线算法第i次后的最优表。

定义2：设Ci表示MTF算法第i次操作的时间代价，为x在L(i-1)中位置的两倍(找到该x元素需要rank(x)，将x平移到最前面需要rank(x)，所以需要2rank(x))；C_i表示最优表第i次操作的时间代价，为x在L_i中位置的位置加上ti，ti表示最优表做了ti次替换（最优表x元素需要进行x次置换）。

分析一个算法的平均时间复杂度，我们一般用平摊分析的势能法进行分析，首先我们构造一个势能方程，这个势能方程是

=2*（逆序对）

举个例子：

Li=->E->C->A->D->B

L_i=->C->A->B->D->E

   =2*5=10

由势能方程的定义可知：

现在考虑另外一个问题，加入对上述例子中一个元素的位置发生变化，势能方程的值会改变多少？？答案是会产生或者消除一个逆序对，即

下面定义四个集合如下：

用图来表示就是这样：

设r=rank（x）代表MTF算法下x在第i-1次置换后列表的位置，r1=rank(x)代表x在最优表中i-1次操作后的位置。则有r=|A|+|B|+1,r1=|A|+|C|+1;那么如果将x移到最前面会产生多少逆序列？？逆序对=|A|-|B|，而最优表会进行ti次置换，每次置换会产生或消除一对逆序对，故可以得到：

ti表示最优表在第i次操作置换的次数。

势能分析：

整体性能分析：

从上面式子可以看出，在线算法就整体性能而言，不超过离线最优算法的4倍。简直太优秀了。