素数伴侣 匈牙利算法

对于0和1来说，它们既不是素数也不是合数。

任何一个大于1的正整数n，可以且唯一表示成有限个素数的乘积。

素数：在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身以外，不能被其他自然数整除的数。

比1大，但不是素数则称之为合数。

匈牙利算法：https://liam0205.me/2016/04/03/Hungarian-algorithm-in-the-maximum-matching-problem-of-bigraph/

增广路径的理解：

理解一：在二分图的匹配中，如果一条路径的首尾是非匹配点，路径中除此之外（如果有）其他的点均是匹配点，那么这条路径就是一条增广路径（Agumenting path）。

理解二：

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。

增广路径的首尾是非匹配点。因此，增广路径的第一条和最后一条边，必然是非匹配边；同时它的第二条边（如果有）和倒数第二条边（如果有），必然是匹配边；以及第三条边（如果有）和倒数第三条边（如果有），一定是非匹配边。

亦即，增广路径从非匹配边开始，匹配边和非匹配边依次交替，最后由非匹配边结束。这样一来，增广路径中非匹配边的数目会比匹配边大 1。

1.定义：若无向图G=<V，E>的结点集V能够被划分为两个子集V1，V2，满足V1∩V2=Ø，并且V1UV2=V，使得G中任意一条边的两个端点，一个属于V1，另一个属于V2，则称G为二分图（bigraph）。二分图通常记为G=<V1,E,V2>.

由定义可知，二分图没有自回路；零图，平凡图可以看成是特殊的二分图。

2.定义：在二分图G=<V1,E,V2>中，若V1中的每个结点与V2中的每个结点都有且仅有一条边相关联，则称二分图G为完全二分图，记为Ki,j，其中i=|V1|,j=|V2|.

3.判断是否为二分图的方法：①定义法，②定理：无向图G=<V,E>为二分图的充要条件是G的所有回路的长度均为偶数。

4.在二分图G=<V1,E,V2>中，V1={v1,v2,v3........vq},若存在E的子集E'={(v1,v1'),(v2,v2')........(vq,vq'),其中v1',v2',v3'.......vq'为V2中的q个不同的结点},则称G的子图G'={V1,E',V2}为从V1到V2的一个完全匹配（complete matching）。（需要注意的是，这里对于v2来说并不一定格式一个完全匹配，因为v2中可能不只q个节点！！！）

5.二分图存在完全匹配的判断：

①充要条件-------霍尔定理（Hall定理）：二分图G=<V1,E,V2>中存在从V1到V2的匹配的充要条件是V1中任意k个结点至少与V2中的k个结点相邻，k=1,2,3,........|V1|. 通常称为相异性条件（diversity condition）

②充分不必要条件---------定理（t条件）：二分图G=<V1,E,V2>如果满足：

（1）V1中每个结点至少关联t条边；

（2）V2中每个结点之多关联t条边。

其中t为正整数，则G存在从V1到V2的匹配。

判断t条件非常简单，只需计算V1中结点的最小度，V2中结点的最大度即可。

③必要条件---------|V1|<=|V2|

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

二部图中两个集合中的节点数量可以不相同！！！

饱和点和匹配：

给定给一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M为一个匹配。

极大匹配是指在当前已完成的匹配下，无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。

最大匹配是所有极大匹配中边数最大的一个匹配。

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

若图中顶点vi与M中的边相关联，则称vi是M饱和点，否则称为非饱和点。

Hall定理：http://www.cnblogs.com/zxfx100/archive/2012/07/26/2609704.html这篇文章对Hall定理以及证明有很详细的讲解！！！

匈牙利算法可以用深度遍历以及广度遍历来实现：

https://my.oschina.net/husthang/blog/840806

https://www.byvoid.com/zhs/blog/hungaryZ这是大神写的，里面对匈牙利算法用画图的方式进行了生动的解析，非常好，可以关注一下！！参考这个博客以及word里面的

程序可以很好的理解匈牙利算法！！！

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
  
  
    bool isPrime(int x){//判断x是否为质数
        if(x<2)
            return false;
        if(x==2)
            return true;
        for(int i=2;i<x;i++){
            if(x%i==0)
                return false;
        }
        return true;
    }
    bool dfs(int k,int* match,int** adj,int* visited,vector<int>& even){//length代表是even的长度
        int t;
        int temp;
        int length=even.size();
        for(int i=0;i<length;i++){
            temp=even[i];
            if(adj[k][temp]==1&&visited[i]==0){
                visited[i]=1;
                t=match[i];
                match[i]=k;
                if(t==-1||dfs(t,match,adj,visited,even))
                    return true;
                match[i]=t;
                  
            }
        }
        return false;
     
    }//dfs函数只对匹配过的odd中的点有影响，如果之前odd中的s是没有被匹配过的，那么
//执行完这次的dfs之后也不会对s产生任何影响，它也不会变成匹配过的点
int main(){
     
    int N;
    cin>>N;//输入自然数个数
    while(N%2!=0){
        cin>>N;//保证输入的N为偶数
    }
    int* number=new int[N];
    for(int i=0;i<N;i++){
        cin>>number[i];
    }
    //先创建邻接表，相加为素数则邻接表中的值为1
    int** adj=new int*[N];
    for(int r=0;r<N;r++){
        adj[r]=new int[N];
    }
    int temp;
    for(int i=0;i<N;i++){
        for(int j=0;j<N;j++){
            temp=number[i]+number[j];
            if(isPrime(temp)&&(i!=j))
                adj[i][j]=1;//adj中的下标对应number中的下标
            else
                adj[i][j]=0;
        }
    }
    //将number中的数据分成奇数和偶数
    vector<int> odd;//奇数
    vector<int> even;//偶数
    for(int k=0;k<N;k++){
        if(number[k]%2==0)
            even.push_back(k);//这里面放的是number下标
        else
            odd.push_back(k);//这里面放的是number下标
    }
      
    // 初始化数组visited，表示even中的点i是否被访问过
    int length=even.size();
    int* visited=new int[length];
    for(int jj=0;jj<length;jj++){
        visited[jj]=0;
    }
      
      
    //初始化数组match，表示数组even中的点i的匹配点,初始化为-1
    int* match=new int[length];
    for(int kk=0;kk<length;kk++){
        match[kk]=-1;
    }
      
    //下面是对odd和even中的点进行最大匹配算法
    int sum=odd.size();
    int count1=0;
    for(int p=0;p<sum;p++){
           memset(visited,0,sizeof(int)*length);//这里一定要将visited清零
           if(dfs(odd[p],match,adj,visited,even)){
               count1=count1+1;
           }
    }
    cout<<count1<<"\n";
      
    //注意这里不可以用final作为变量名，这样的话是无法cout的！！
    delete number;
    for(int t=0;t<N;t++){
        delete[] adj[t];
    }
    delete[] adj;
    delete[] visited;
    delete[] match;
    return 0;
}

上面的程序实现用到了一个重要性质就是：素数，除了2是偶数，其他是奇数。并且，2个数的和是奇数的情况只有奇数+偶数。

 饱和