阿里笔试 -- 小张和姑娘约会

题目：

小张很多年过年都没有回家了，这次回家父母给他安排了很多个相亲的姑娘，有一个很长的名单，长度为N。父亲负责安排约会，每次随机的选择一个要相亲的对象，母亲负责记录哪些姑娘已经约会过了。直到和所有的姑娘都约会完一遍以后，这个浩大的相亲工程才会结束。这些天父母在吵架，他们之间不会有任何的言语沟通。所以父亲不知道哪些姑娘已经约会过了。因此下次约会的对象很可能是以前已经约会过的。如果小张要把所有的姑娘都约会一遍，那么平均需要约会多少个姑娘？

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思路：
这是一道概率题，主要考查数学功底，推出公式后几行代码就可以搞定。如果你熟悉概率论中的“赠券收集问题“，这个问题就迎刃而解了。

1. 计算期望值：
   假设 T 是约会完所有 N 个姑娘约会的次数，ti是在约会了第i−1个姑娘后，再约会到第 i 个（以前没有约会过的）姑娘所花的次数，那么 T 和 ti 都是随机变量。在约会了 i−1 个姑娘后，再约会一个新的姑娘的概率 pi=n−i+1n, 所以ti是几何分布,并且有期望值1pi。根据期望值的线性性质：
   
   E(T)=====E(t1)+E(t2)+⋯+E(tn)1p1+1p2+⋯+1pnnn+nn−1+⋯+n1n(11+12+⋯+1n)nHn
   
   其中Hn是调和数，根据其近似值可化为：
   E(T)=nHn=nlnn+γn+12+o(1), as n→∞，其中 γ≈0.5772156649 是欧拉-马歇罗常数。

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C++代码如下：

#include <iostream>#include <vector>#include <numeric>#include <limits>#include <time.h>using namespace std;/*请完成下面这个函数，实现题目要求的功能*//*当然，你也可以不按照下面这个模板来作答，完全按照自己的想法来 ^-^ *//******************************开始写代码******************************/double date(int N) {    double H = 0;    for (int i = 1; i <= N; i++)    {        H += 1.0 / i;    }    return N * H;}/******************************结束写代码******************************/int main() {    double res;    int N;    cin >> N;    res = date(N);    printf("%.4f", res);    return 0;}