有下限的网络流

思路转自博客：http://blog.csdn.net/water_glass/article/details/6823741

上下流相关的网络流的各种问题在Amber大牛的《图论原理》里讲的特备清楚。。。。。资料需要网上下载。。我就把原文摘抄下来吧。。。。。。

问题模型：

给定一个加权的有向图，满足：

(1)容量限制条件：

              

(2)流量平衡条件：

             

(2)中的即除了源汇外，所有点都满足流量平衡条件，则称G为有源汇网络；否则，即不存在源汇，所有点都满足流量平衡条件，则称G为无源汇网络。

将这类问题由易到难一一解决：

问题[1] 求无源汇的网络有上下界的可行流

由于下界是一条弧上的流必需要满足的确定值。下面引入必要弧的概念：必要弧是一定流要满的弧。必要弧的构造，将容量下界的限制分离开了，从而构造了一个没有下界的网络G’：

1． 将原弧(u,v)分离出一条必要弧：。（红色表示）

2． 原弧：。

由于必要弧的有一定要满的限制，将必要弧“拉”出来集中考虑：

添加附加源x, 附加汇y。想像一条不限上界的(y, x)，用必要弧将它们“串”起来，即对于有向必要弧(u, v)，添加(u, y)，(x, v)，容量为必要弧容量。这样就建立了一个等价的网络。

一个无源汇网络的可行流的方案一定是必要弧是满的。若去掉(y, x)后，附加源x到附加汇y的最大流，能使得x的出弧或者y的入弧都满，充要于原图有可行流。

算法：

1. 按上述方法构造新网络(分离必要弧，附加源汇)

2. 求附加源x到附加汇y的最大流

3. 若x的出弧或y的入弧都满，则有解，将必要弧合并回原图；否则，无解。

问题[2] 求有源汇的网络有上下界的可行流

加入边(t, s)，下界为0(保证不会连上附加源汇x, y)，不限上界，将问题[2]转化为问题[1]来求解。

问题[3]求有源汇的网络有上下界的最大流

算法：

1. 先转化为问题[2]来求解一个可行流。若可行无解，则退出。由于必要弧是分离出来的，所以就可以把必要弧（附加源汇及其临边）及其上的流，暂时删去。再将(T,S)删去，恢复源汇。

2. 再次，从S到T找增广轨，求最大流。

3. 最后将暂时删去的下界信息恢复，合并到当前图中。输出解。

这样既不破坏下界(分离出来)也不超出上界(第2步满足容量限制)，问题解决。

问题[4]求有源汇的网络有上下界的最小流

算法：

1. 同问题[3]。

2. 从T到S找增广轨，不断反着改进。

3. 同问题[3]。

问题[3]与问题[4]的另一种简易求法：

注意问题[2]中，构造出的(t, s)，上下界几乎没什么限制。下面看看它的性质：

定理：如果从s到t有一个流量为a的可行流f，那么从t到s连一条弧(t, s)，其流量下界b(t, s) = a，则这个图一定有一个无源汇的可行流：除了弧(t, s)的容量为a外，其余边的容量与f相同。

证明：如果从s到t的最大流量为amax，那么从t到s连一条下界b(t, s) = a’ > amax的弧(t, s)，则从在这个改造后的图中一定没有无源汇的可行流：否则将这个可行流中的弧(t, s)除去，就得到了原图中s到t的流量为a’的流，大于最大流量amax，产生矛盾。

可以二分枚举这个参数a，即下界b(t, s)，每次用问题[1]判断是否有可行流。这样就可以求出最大流。

同理，问题[4]要求最小流，只要二分枚举上界c(t, s)即可。

因为朴素的预流推进算法O(N3)，总复杂度为O(N3 log2流量) 。

思路：

无源汇 (附加源汇+最大解决)

有源汇 (附加(T,S)->无源汇)

以下为自己的模板：

#include<iostream>#include<queue>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;const int maxn=200+5;const int INF=1000000000;int G[maxn][maxn];int G1[maxn][maxn];int low[maxn][maxn];int high[maxn][maxn];int solve(int n) {int s,t;    //源点s，汇点tint X,Y;    //构建X,Y两个虚拟节点int YW=0; //所有下限边的权重和 for(int u=1;u<=n;u++)  //遍历所有点 for(int v=1;v<=n;v++){if(u->v有下限) {G[u][X]+=low[u][v];G[Y][v]+=low[u][v];YW+=low[u][v];}if(u->v有上限) G[u][v]+=high[u][v]-low[u][v];} memcpy(G1,G,sizeof(G));G[t][s]=INF;int res=Dinit(Y,X,n)  //(start,end,node's number)if(res!=TW) {cout<<"IMPOSSIBLE"<<endl;return;}G[s][t]=G[t][s]=0;Dinit(s,t,n); for(int u=1;u<=n;u++)  {for(int v=1;v<=n;v++)  //输出所有边的流量 G1-G+low cout<<G1[u][v]-G[u][v]+(low[u][v] is existed?low[u][v]:0)<<' ';cout<<endl;} }