线性筛选素数和线性筛选欧拉函数【bzoj2190]

一、线性筛选素数

#include<cstring>

#include<cstdio>

using namespace std;

int prime[1110000],pr,n;

bool v[1110000];

void getprime()

{

memset(v,true,sizeof(v));

pr=0;

for(int i=2;i<=n;i++)

{

if(v[i])

{

pr++;

prime[pr]=i;

}

for(int j=1;(j<=pr)&& (i*prime[j]<=n);j++)

{

v[ i* prime[j] ]=false;

if( i% prime[j]==0) break;

}

}

}

int main()

{

scanf("%d",&n);

getprime();

for(int i=1;i<=pr;i++) printf("%d ",prime[i]);

return 0;

}

线性筛选欧拉函数：求小于n，且和n互质的数字个数

 比如：

 1: 0

 2: 1

 3: 2

 4: 2

 5: 4

 6: 2

 7: 6

 8: 4

 9: 6

10: 4

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#define M 1000

int prime[M/3],phi[M];

bool flag[M];

void get_prime()

{

int i,j,k;

memset(flag,false,sizeof(flag));

k=0;

for(i=2;i<M;i++)

    {

if(!flag[i]){                            

prime[k++]=i;

phi[i]=i-1;

}

for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){

flag[i*prime[j]]=true;            

if(i%prime[j]==0){

phi[i*prime[j]]=phi[i] * prime[j];

break;

}

else

phi[i*prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]];

}

    }

}

int main()

{

freopen("da2.out","w",stdout);

get_prime();

for(int i=1;i<100;i++)printf("%2d:%2d\n",i,phi[i]); 

}

欧拉函数的几个性质：E(x)表示比x小的且与x互质的正整数的个数。

1、*若p是素数，E(p)=p-1。// 这个没意见！

2、*E(p^k)=p^k - p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)

证：令n=p^k,小于等于n的正整数数中，所有p的倍数共有p^(k-1)个。//同意？

1~n出去p的倍数，所以E(n)= n -  p^(k-1)  =p^k - p^(k-1) =  (p-1)*P^(k-1).得证。

想通以上证明很重要，因为是看懂下来证明的基础。
3、*若ab互质，则E(a*b)=E(a)*E(b)，欧拉函数是积性函数.
*对任意数n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an(pi为素数).
则E(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn)// 这个没意见！可以理解

=(p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an)*[(p1-1)*(p2-1)*(p3-1)*...*(pn-1)]/(p1*p2*p3*...*pn)      

=(p1-1)*p1^(a1-1)*(p2-1)*p2^(a2-1)*...*(pn-1)*pn^(an-1)
=E(p1^a1)*E(p2^a2)*E(p3^a3)*...*E(pn^an)     //由此证明了互质的可以用各自的欧拉函数直接乘

所以当ab互质的时候E(a*b)=E(a)*E(b)
不互质的时候怎么办呢？

当b是质数，a%b==0，那么由上面的证明，b并到其中一个b^x里面，所以E(a*b)=E(a)*b