【一尺之捶和龟兔赛跑】“一尺之捶，日取其半”，真的“万世不竭”吗？

来源：互联网发布：乔治·维利尔斯知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/10 03:26

【一尺之捶】

“一尺之捶，日取其半，万世不竭” ，这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。

这句话曾经在高中学过，大致意思是：一尺长的东西，今天取一半，明天取剩余的一半，后天再取剩余的一半，总会有一半留下。当时语文老师是通过这句话来让我们明白有限之中有无限、有限和无限的统一的辩证思想。

大学某个晚上，我们寝室8个人一起讨论这根一尺长的木头到底能不能取完，从数学到物理、化学，从生物学到哲学、经济学，从天文到地理、历史，从数论到多项式、微积分，都讨论了个遍，虽然讨论到了凌晨3点多，最后也没得出什么实质性的结论，印象最深的是有位哥们说一尺长的木头能否取完取决于原子是否可分。

【问题】

古人说“万世不竭”，但是这根一尺长的木头到底能不能取完呢？

【龟兔赛跑】

念初中时，《初中生》上面有一篇很有意思的文章，说是兔子永远也赶不上乌龟：假设兔子的速度为10m/s，而乌龟的速度1m/s，乌龟在兔子前面10m，现在兔子开始追乌龟。当兔子追到乌龟目前的位置（10m）时，乌龟往前爬了1m；当兔子再往前1m时，乌龟又往前了0.1m；当兔子再往前0.1m时，乌龟又往前了0.01m；……。这样乌龟永远在兔子前面，也就是兔子永远也追不上乌龟。

事实上小学生通过解方程也能知道经过[10/9s]时间时，兔子就追上乌龟了。

【“一尺之捶“的龟兔赛跑式取法】

古人（惠施）采用的取法是“日取其半”，现在换一种“龟兔赛跑式”取法。

兔子追乌龟是按10m、1m、0.1m、…的方式，如果取木头也按照1/2、1/4、1/8、…的方式会怎么样呢？详细过程就是：第1/2天取木头的1/2，第1/4天取剩余的一半，即1/4，第1/8天再取剩余的一半，即1/8，…。这与古人的取法是一样的：每次取剩余木头的1/2，只是不断缩短时间。

根据级数累加我们可以知道：1/2+1/4+1/8+1/16…=1。

兔子能在[10/9s]时间时追上乌龟，也就是[10/9s]时龟兔之间的距离为0。

对于这根一尺长的木头， [1天]过完时，也就没剩任何东西了，即1天过完时这根木头被取完了。

【另一种解释：蚂蚁上树】

有一棵树高1尺，一只蚂蚁以1尺/s的速度从树根往树顶爬行。爬行过程是这样的：1/2秒爬了1/2尺、1/4秒爬了1/4尺、1/8秒爬了1/8尺、…,这样它永远无法到达树顶，因为它始终与树顶有一段距离。可是它真的无法达树顶吗？实际上1S的时候它在就已经爬到了树顶。

【结论】

如果承认兔子能赶上乌龟，那么一尺之捶，每次取半，是能被取完的。

如果承认蚂蚁能到达树顶，那么一尺之木也是可以被取完的。

事实上，兔子能赶上乌龟，蚂蚁也能到达树顶，如果这样我们是不是可以得出这样的结论：“一尺之捶，日取其半，必能取完”，而不是“万世不竭”，但什么时候取完，我现在无法知道。

【附】

这些都是积压在心中多年的疑惑，不知道推理过程是否有误，希望与大家一起分享并讨论。