渲染引擎杂记（2）——折射光线方向公式推导

折射光线方向公式推导

　　先给出结论：折射方向公式：

t=η1η2i+(η1η2cosθi−1−sin2θt−−−−−−−−√)n

　　要注意的是，这个向量不是单位向量，使用前请自行单位化。
　　
　　下面开始证明，根据 Snell 法则：

sinθ1sinθ2=η2η1

　　下面设定一些常用变量，默认都已经单位化：
- i：入射光线方向
- t：折射光线方向
- n：法线方向
- n⊥：法线垂直方向

　　首先 i，t 可以表示为

i=−cosθ1n+sinθ1n⊥

t=−cosθ2n+sinθ2n⊥

　　由于我们不知道 n⊥，可以使用以下方程获得等式：

n⊥=cscθ1i+cotθ1n

n⊥=cscθ2t+cosθ2n

cscθ1i+cotθ1n=cscθ2t+cotθ2n

　　可以解得 t：

t=sinθ2sinθ1i+cosθ1sinθ2sinθ1n−cosθ2n

　　可以用 Snell 法则来代替正弦，用正弦来代替余弦，也就得到了最终公式：

t=η1η2i+(cosθ1η1η2−1−sin2θ2−−−−−−−−√)n

　　
参考：What does the equation of a refracted ray trace mean?