【Bzoj2326】数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 N 和 M，要求计算 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 ..N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。例如，N = 13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213.小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足1≤N≤1000000；100%的数据满足1≤N≤1018且1≤M≤109.

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。

输入输出样例

输入样例#1：

13 13

输出样例#1：

4

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一开始本来以为O(n)递推，看到数据范围矩阵乘法没得跑，我们构造一个矩阵，第一位放f[i]，
第二位放[i]，第三位放1，转移的时候f[i]∗10k+i+1(k是当前的位数)，应该比较容易证明。
到进位的话k要处理一下。之后分析一下发现，我们可以把每个数拆掉之后乘比它位数少的...
那些矩阵的幂次再加上多出来的...md语言表达能力废了。举栗子好了。比如说n=105
那就是[10...]9∗[102...]90∗[103...]6∗[1，1，1]。
n=1003，就是[10...]9∗[102...]90∗[103...]900∗[104...]4∗[1，1，1]。
那个[10...]是特征矩阵的简写，表示[1][1]位置的数，其它不变。
特征矩阵长这样⎡⎣⎢10k11011001⎤⎦⎥
然后答案矩阵的话就是[111]
唔...表达不太清楚，还是自己推一下吧...蛮好推的辣...实现的话应该只要小小调一下...
嗯，应该不至于蠢得和我一样调几小时main函数...

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#define Rep(i,s,t) for(int i=s;i<=t;i++)using namespace std;typedef long long LL;LL lger=10,n,m,mimi=1;namespace matrix_mul{    struct mat{        LL x[5][5];        mat(){memset(x,0,sizeof(x));}    };    mat mul(mat a,mat b){        mat tmp;        Rep(i,1,3) Rep(j,1,3) Rep(k,1,3)            tmp.x[i][j] = (tmp.x[i][j]+a.x[i][k]*b.x[k][j])%m;        return tmp;    }    mat power(mat a,LL n){        if(n == 0) return a;        mat ans = a,tmp = a;n--;        while(n){            if(n & 1) ans = mul(ans,tmp);            tmp = mul(tmp,tmp);            n >>= 1;        }        return ans;    }}int main(){    using namespace matrix_mul;    scanf("%lld%lld",&n,&m);    mat Ans,tmp,now;    Ans.x[1][1]=Ans.x[1][2]=Ans.x[1][3]=1;    tmp.x[2][1]=tmp.x[2][2]=tmp.x[3][1]=tmp.x[3][2]=tmp.x[3][3]=1;    tmp.x[1][1]=10;    if(n < 10){        Ans = mul(Ans,power(tmp,n-1));        printf("%lld\n",(Ans.x[1][1])%m);        return 0;    }    now = power(tmp,8);    while(lger <= n){        tmp.x[1][1] = lger*10%m;        if(lger*10 <= n)            now = mul(now,power(tmp,lger*9));        else now = mul(now,power(tmp,n-lger+1));        lger *= 10;    }    Ans = mul(Ans,now);    printf("%lld\n",(Ans.x[1][1])%m);    return 0;}