图论之拓扑排序

一、定义

将有有向无环图（GAD）中的顶点以线性方式进行排序。即对于任何连接自顶点u到顶点v的有向边uv，在最后的排序结果中，顶点u总是在顶点v的前面。u→v，u在前，v在后。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。

举个栗子，最简单的选课问题。

比如我大二想学数据结构，那我就必须在大一C语言不挂科，C语言是数据结构的基础课程。那么这个制定选修课程顺序的过程，实际上就是一个拓扑排序的过程，每门课程相当于有向图中的一个顶点，而连接顶点之间的有向边就是课程学习的先后关系。将这个过程以算法的形式描述出来的结果，就是拓扑排序。

但是若说学C语言之前必须学完数据结构，我们就会哭哭啊，因为不会啊到底哪门是基础啊，所以这样的顺序就不成立了。这是相互依赖的关系了，没有谁先谁后了，在有向图中以环呈现。

所以，一个有向图能被拓扑排序的充要条件就是它是一个有向无环图。

二、偏序和全序 

偏序和全序实际上是离散数学中的概念。

还是以上面选课的例子来描述这两个概念。假设我们在学习完了C语言这门课后，可以数据结构或者数字电路。这个或者表示，学习数据结构和数字电路这两门课之间没有特定的先后顺序。因此，在我们所有可以选择的课程中，任意两门课程之间的关系要么是确定的(即拥有先后关系)，要么是不确定的(即没有先后关系)，绝对不存在互相矛盾的关系(即环路)，不然到底是上课还是不上啊哭哭。以上就是偏序的意义，抽象而言，有向图中两个顶点之间不存在环路，至于连通与否，是无所谓的。所以，有向无环图必然是满足偏序关系的。

理解了偏序的概念，那么全序就好办了。所谓全序，就是在偏序的基础之上，有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系（反映在图中，就是单向连通的关系，注意不能双向连通，那就成环了）。可见，全序就是偏序的一种特殊情况。回到我们的选课例子中，如果数据结构需要在学习了c语言之后才能学习(因为C语言是算法基础啊！没有语言哪来的算法实现！)，那么它们之间也就存在了确定的先后顺序，原本的偏序关系就变成了全序关系。

实际上，很多地方都存在偏序和全序的概念。

比如对若干互不相等的整数进行排序，最后总是能够得到唯一的排序结果(从小到大，下同)。但是如果我们以偏序/全序的角度来考虑一下这个再自然不过的问题，可能就会有别的体会了。

 那么如何用偏序/全序来解释排序结果的唯一性呢？

我们知道不同整数之间的大小关系是确定的，即1总是小于4的这就是说，这个序列是满足全序关系的。而对于拥有全序关系的结构(如拥有不同整数的数组)，在其线性化(排序)之后的结果必然是唯一的。对于排序的算法，我们评价指标之一是看该排序算法是否稳定，即值相同的元素的排序结果是否和出现的顺序一致。比如，我们说快速排序是不稳定的，这是因为最后的快排结果中相同元素的出现顺序和排序前不一致了。如果用偏序的概念可以这样解释这一现象：相同值的元素之间的关系是无法确定的。因此它们在最终的结果中的出现顺序可以是任意的。而对于诸如插入排序这种稳定性排序，它们对于值相同的元素，还有一个潜在的比较方式，即比较它们的出现顺序，出现靠前的元素大于出现后出现的元素。因此通过这一潜在的比较，将偏序关系转换为了全序关系，从而保证了结果的唯一性。

拓展到拓扑排序中，结果具有唯一性的条件也是其所有顶点之间都具有全序关系。如果没有这一层全序关系，那么拓扑排序的结果也就不是唯一的了。在后面会谈到，如果拓扑排序的结果唯一，那么该拓扑排序的结果同时也代表了一条哈密顿路径。

三、拓扑排序的三种方法

整体思路：先找出任意一个没有入边的顶点，然后显示出该顶点，并将它和它的边一起从图中删除。然后，对图的其余部分用同样的方法处理。

*度： 图中每个顶点的度为以该顶点为一端点的边的数目。记为 D(V) 。
*入度和出度：对于有向图，入度为以该顶点为终点的边的数目，出度为以该顶点为起点的边的数目。

1.无前趋的的顶点优先拓扑排序

    思路：在有向图建立完成之后，维护两个点集，一个是当前出度为0的点集，记为①，另一个是出度不为0 的点集，记为②，以及一个记录各个点出度的数组。首先遍历一遍图的全部边，初始化所有点的出度，然后出度为0的点依次 入①，然后将①中的点分别出列，每次出列都需要更新各个点的出度，即把所有跟出列的点邻接的点出度-1（有多条边，则相应减掉边数，一般简单图不会有多重边），直至①变成空集。这个时候，如果②也变成了空集，证明排序成功，否则，原图不存在拓扑排序（图中有环）。最终的排序结果就是从①中出列的点的逆序。

2.无后继的的顶点优先拓扑排序

  思路：跟1的方法类似，不过这次是维护根据点的入度进行统计。在有向图建立完成之后，维护两个点集，一个是当前入度为0的点集，记为①，另一个是入度不为0 的点集，记为②，以及一个记录各个点入度的数组。首先遍历一遍图的全部边，初始化所有点的入度，然后入度为0的点依次 入①，然后将①中的点分别出列，每次出列都需要更新各个点的入度，即把所有跟出列的点邻接的点入度-1（有多条边，则相应减掉边数，一般简单图不会有多重边），直至①变成空集。这个时候，如果②也变成了空集，证明排序成功，否则，原图不存在拓扑排序（图中有环）。最终的排序结果就是从①中出列的点的顺序。

3.基于DFS递归的拓扑排序

  思路：从图的起点开始进行深度优先搜索，在搜索过程中，把没有后继（相当于出度为0）的点出列（这个过程中，已经出列的点不算是它的前继点，相当于删除了该点），点的出列顺序就是拓扑排序结果的逆序。

ps：我们一般习惯用第三种吧，还在摸索中XD