01背包（f m）

关于01背包的初次学习

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以前对于背包问题都是贪心，求出来什么性价比，来个排序，然后贪心暴力。。。。。。
直到后来学到了dp背包。。才发现了这个神奇的东西。。。。
看个题：
Problem Description

由于高数巨养的喵星人太傲娇了，要天天吃新鲜猫粮而且还经常欺负高数巨，所以高数巨决定买几条哈士奇尝尝鲜。这天高数巨来到了二手狗市场买哈士奇，高数巨看完了所有的哈士奇，记下了每条哈士奇的价格，并根据对它们的好感程度给它们每只都赋予了一个萌值。高数现在手里有X元，她想通过购买若干条哈士奇来获得尽可能多的萌值。现在给定高数巨手里的钱X以及N条哈士奇的价格和萌值，求高数巨最多可获得多少萌值
Input

多组输入。

对于每组输入，第一行有两个整数N，X（1 < = N < = 100，1 < = X < = 1000），分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数

接下来的N行每行有两个整数Pi，Mi（1 < = Pi,Mi < = 100），分别表示第i条哈士奇的价格和萌值
Output

对于每组数据，输出一个整数，表示高数巨最多可以获得的萌值，每组输出占一行
Example Input

2 100
50 20
60 40
3 100
20 55
20 35
90 95
1 10
20 50

Example Output

40
95
0

一个物品两个属性，很典型的01背包问题，那我们就可以来看看代码了

#include <stdio.h>#include <string.h>int max(int a,int b){    return a>b?a:b;}int main(){    int dp[110][1010]//开一个二维数组，行为包容量，列为物品;    int n,x;    while(~scanf("%d %d",&n,&x))    {        memset(dp,0,sizeof(dp));//dp数组初始化为0//首先你要牢牢记住，这个二维数组里面存放的数据为这道题的萌值        int i,j;        int p[110],m[110];        for(i = 1; i <= n; i++)            scanf("%d%d",&p[i],&m[i]);        for(i = 1; i <= n; i++)//枚举物品        {            for(j = 0; j <= x; j++)//枚举容量            {                dp[i][j] = dp[i - 1][j];//对上一个物品（[i-1]）背包剩余容量（[j]），及萌值的继承，j不变                if(j >= p[i])//判断背包剩余量是否能装下当前物品（[i]）                {                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-p[i]]+m[i]);//如果可以装下该物品，来判断装下该物品萌值大还是不装该物品萌值大                }            }        }        printf("%d\n",dp[n][x]);//把最后一个数的满背包容量输出即可    }}/***************************************************User name: LAN7Result: AcceptedTake time: 4msTake Memory: 548KBSubmit time: 2017-02-13 10:37:51****************************************************/

代码配上注释就很容易理解了，最重要的是那个状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-p[i]]+m[i]);//如果可以装下该物品，来判断装下该物品萌值大还是不装该物品萌值大
以及它在这个dp二维数组中的实现。
这个题时间复杂度已经这样了，但是我们空间复杂度还可以进一步优化，机智的小盆友可能已经发现了

for(j = 0; j <= x; j++)//枚举容量{    dp[i][j] = dp[i - 1][j];//对上一个物品（[i-1]）背包剩余容量（[j]），及萌值的继承，j不变    if(j >= p[i])//判断背包剩余量是否能装下当前物品（[i]）

在这段代码里我们是不是做了一个很愚蠢的决定，你的背包容量完全不用从0开始，因为我们知道，0—p[i]间肯定是放不进去的,而且这整个代码我们还可以用一维数组来做，因为那个i只是一个状态，我们可以优化它的空间复杂度。

for(i = 1; i <= n; i++)    for (j = x;j >= p[i];j--)         dp[j] = max(dp[j],dp[j-p[i]]+m[i]);

没错，直接这样被代替了。

逆序的原因

我们在用二维数组的时候，之所以可以正序枚举背包容量是因为我们空间足够大，我们上面还有一层存放着呢，而现在我们只有一层了，当进行第i次循环的时候，我们此时的dp数组存放的是第i-1的数据，在这次枚举中我们要用到，然而我们要正序的话，从0开始，然后这个数据就被覆盖了，然后j++开始循环，到了某一点，突然发现我们需要之前的数据了，可是刚才的数据被覆盖了。。。。。。。怎么办，没法调用了。。。所以呢。。我们倒序来，因为我们在dp数组中要用到上一层的数据，dp[i-1][j-p[i]],因为j>j-p[i]，所以在j之后的数据肯定不会用到，所以呢，倒序的优点就是我们可以从后面向前来覆盖，把这些以后用不到的数据覆盖就可以了。。。