【线性代数】特征值的物理意义

对于矩阵A，其特征值为λ，特征向量为b，满足：

Ab=λb

从几何意义来说，一个矩阵A定义了一个由旋转和缩放组成的线性变换。对于这个变换，存在某个特殊的向量b，其变换结果和原来共线。

这个结论初看难以想象，我们用简单的例子来展示。

【例1】考虑一个变换，对x,y坐标进行缩放。

A=⎡⎣⎢k000k0001⎤⎦⎥

xy平面上的向量[a,b,0]是该矩阵的特征向量，经过缩放后，和原向量共线。

【例2】考虑一个变换，将向量围绕矢量r旋转角度θ。
和r共线的向量，在旋转后，仍然保持不变，是该矩阵的特征向量。

可以看到，特征向量实际表达了矩阵所代表的线性变换的特征。