[HNOI2002][poj1091]跳蚤

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题目描述

　　Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。
　　比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。
　　当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

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输入格式

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。

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输出格式

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。
1≤M≤10^8，1≤N≤M，且MN≤10^16。

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样例数据

样例输入

2 4

样例输出

12

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样例说明

这12张卡片分别是：
(1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 4), (2, 1, 4), (2, 3, 4),
(3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), (3, 4, 4), (4, 1, 4), (4, 3, 4)

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题目分析

这题稍微有点难。。
题意很好理解，即为不定方程

x1∗a1+x2∗a2+...+xn+1∗an+1=1

要有解，须满足系数最大公约数为1，详细见这儿
于是只需要将小于M中不与M互质的数去掉即可，利用容斥原理可以得到设t(k)为数列gcd为k个质因子乘积的数列个数
故Ans=m^n-t(1)+t(2)-t(3)…(-1)^k*t(k)

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源代码

#include<algorithm>#include<iostream>#include<iomanip>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<vector>#include<cstdio>#include<cmath>#include<queue>using namespace std;typedef long long LL;inline const LL Get_Int() {    LL num=0,bj=1;    char x=getchar();    while(x<'0'||x>'9') {        if(x=='-')bj=-1;        x=getchar();    }    while(x>='0'&&x<='9') {        num=num*10+x-'0';        x=getchar();    }    return num*bj;}LL n,m,Ans=0,tot,cnt=0,num[105],ans[105];LL Quick_Pow(LL a,LL b) {    LL ans=1;    while(b>0) {        if(b&1)ans*=a;        b>>=1;        a*=a;    }    return ans;}void Divide(LL x) {    cnt=0;    for(int i=2; i<=sqrt(x); i++)        if(x%i==0) {            num[++cnt]=i;            while(x%i==0)x/=i;        }    if(x!=1)num[++cnt]=x;}void Dfs(LL Last,LL Limit,LL Now) {    if(Now>Limit) {        LL sum=m;        for(int i=1; i<=Limit; i++)sum/=ans[i];        tot+=Quick_Pow(sum,n);        return;    }    for(int i=Last+1; i<=cnt; i++) {        ans[Now]=num[i];        Dfs(i,Limit,Now+1);    }}int main() {     n=Get_Int();    m=Get_Int();    Divide(m);    Ans=Quick_Pow(m,n);    for(int i=1; i<=cnt; i++) {        tot=0;        memset(ans,0,sizeof(ans));        Dfs(0,i,1);        if(i&1)Ans-=tot;        else Ans+=tot;    }    printf("%lld\n",Ans);    return 0;}

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