数学狂想曲（一）——搞笑图片的数学原理, 欧拉公式, 傅里叶变换

搞笑图片的数学原理

这是一个在各论坛流传已久的图片。这个题目的描述虽不复杂，但仅凭大学本科的高等数学，实际上是搞不定这个问题的。

首先需要明确的是，上图中的被积函数1−cosxx2的原函数不是初等函数，因此无法使用牛顿-莱布尼茨公式，求解该积分值。

它的解法其实图片中已经给出了线索，那就是傅立叶变换的能量积分公式。

以下是推导步骤：

利用半角公式进行变换。

由半角公式：

2sin2x2=1−cosx

可得：

1−cosxx2=2⋅sin2x24⋅x24=12(sinx2x2)2

查常用函数的傅立叶变换表，可得：

代入能量积分公式，可得：

∫+∞−∞(sinx2x2)2dx=2π∫+∞−∞(rect(t))2dt=2π⋅1

因此：

∫+∞−∞1−cosxx2dx=12⋅2π=π

实际上，这类积分都是Dirichlet积分的变种，解法也不止一种。

参见：

http://wenku.baidu.com/view/bb9c8ffe910ef12d2af9e71a.html

http://wenku.baidu.com/view/1b47c415cc7931b765ce1547.html

下面回到原题，何为“能量积分”呢？

由电学的功率公式和欧姆定理可得：

W=UI=U2R=I2R

可见，无论f(t)表示电压U，还是表示电流I，[f(t)]2都和功率成正比，即∫[f(t)]2dt和能量成正比。

傅立叶变换的能量积分公式的物理意义是：同一信号的时域能量积分等于它的频域能量积分。通俗的说就是一个信号的能量，既可以看作是一段时间内信号能量的总和，也可看作是该信号各个频率分量的能量总和。

在历史上，该公式由Marc-Antoine Parseval于1799年发现，最初主要用于研究复变函数，后来才应用到傅立叶变换和信号处理领域。

它的更一般的描述为：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。

注：Marc-Antoine Parseval des Chênes，1755～1836，法国数学家。曾5次参选法国科学院院士，但都落选了。

欧拉公式

由于欧拉大神的贡献很多，数学上以其命名的公式也有很多，而且知名度都不低。日常使用时，如果不以领域做区分，人们根本就不知道谈论的是哪个欧拉公式。

这里主要讨论复变函数领域的基石——欧拉公式：

eix=cosx+isinx

自然对数e

在讨论欧拉公式之前，首先要理解一下自然对数e的含义。

推荐阅读以下文章：

https://www.zhihu.com/question/20296247/answer/29370489

这里对上文中的要点做一个摘要。

假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！

银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元

银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元

假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元

假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元

假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元

这个数越来越接近于e了！

哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！

对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，即：

e=limn→∞(1+1n)n

自然对数的研究历史

上面例子的体例，和现行教科书类似，都是直接以极限方式定义e。然而，这并不是自然对数在历史上的研究路径。

从利息出发的复利计算，或者说求高次幂运算，在历史上催生了最早的对数表（1614年）。然而，这个问题本身和e并无直接关联，使用常用对数同样可以求解复利问题。

真正催生自然对数e的是对数表的编制过程。

对于那时期的人们来说，编制对数表是件巨大的工程，常需要花费数学家数年，甚至数十年的时间。

在大量的实践中，人们发现采用(1+1n)n,n≫0为底，可以很大程度的节省计算量。

事实上，最早的几个对数表的作者中，纳皮尔采用(1+1107)107的倒数为底，而比尔吉采用(1+1104)104为底。这两个数分别是1e和e的近似值。

从e到欧拉公式

早期的对数表作者虽然已经不自觉的享受e的好处，然而他们并没有明确发现或定义e。

e的定义有赖于微积分的发展。

十七世纪上半叶是微积分的萌芽时期，也可称为前牛顿-莱布尼茨时期。这里所提到的数学家，实际上只比牛顿、莱布尼茨，早一到两代人。

比如费马（Pierre de Fermat）在1636年之前，就知道：

∫a0xndx=an+1n+1,n≠−1

于是人们自然会去思考：

∫a01xdx=?(1)

两个耶稣会教士Grégoire de Saint-Vincent和Alphonse Antonio de Sarasa发现：

∫a01xdx=klogy

这个发现表明，y=1x曲线下的面积和y的对数成正比。

William Oughtred认为，如果采用合适的数为底的话，就可以约去比例因子k。从而上式可变为：

∫a01xdx=lnx

他将这样形式的对数，称为自然对数。这实际上就是(1+1n)n节省计算量的原因。

William Oughtred，1575~1660，英国数学家。他对数学符号的发展产生很大的影响，现行的大于、小于符号就是他的发明。

到了John Bernoulli时代，积分问题扩展到如下形式：

∫dxax2+bx+c(2)

显然，这类问题可以通过配方换元法，转换成公式1的形式。然而，其中的要害在于，求解方程ax2+bx+c=0，而这个方程的解，有可能为复数。

出于解方程的需要，John Bernoulli系统研究了limn→∞(1+1n)n的性质，并认为它是一个重要的常数。这个思想明显影响了他的学生Euler。

除此之外，在求解公式2的特例：

dxb2+x2(3)

John Bernoulli发现，可以令x=−1−−−√b(t−1)/(t+1)，从而上式变为：

−dt−1−−−√⋅2bt(4)

公式3的积分是arctan，而公式4的积分是一个虚数的对数。利用这种方法，可以建立三角函数和虚数对数之间的关系。

这里需要指出的是，John Bernoulli对于复数的理解仍停留在Cardano的水平，这里的虚数对数和后面提及的复数指数、复数对数在内涵上是不同的，仅仅是种解方程的技巧而已。

1740年，Euler发现y=2cosx和y=e−1√x+e−−1√x是同一个微分方程的解，因此它们应该相等。

1743年，Euler进一步指出：

cosx=e−1√x+e−−1√x2,sinx=e−1√x−e−−1√x2−1−−−√

最后，在1748年，Euler指出：

eix=cosx+isinx

虚数符号i虽然也是Euler的发明，但那是1777年以后的事情了。这里用的是现代的表示方法。

这个结果最早是Roger Cotes于1714年发现的，Euler算是重新发现。

从牛顿到John Bernoulli、Euler，无穷数列成为当时数学家的一项工具。上述等式中很多都是基于函数的无穷数列展开式的性质得出的。

但与现在主要采用泰勒展开式不同，当时更知名的展开公式是牛顿发明的二项式定理，泰勒展开式用的并不多。

复变Euler公式

Euler时代，人们虽然对于复数的性质做了颇多的探索，但仍难以逃脱“复数是解方程的技巧”的束缚。这主要体现在两个方面：

1.尽管Euler晚年已经有复平面的概念，但他对复数的几何意义研究甚少。在他看来，为复数这种因解代数方程而引入的技巧，提供一种几何解释，是一件不太自然的事情。

2.复数的实部和虚部是分开处理的，用途局限于求解实变量微积分。最典型的例子就是，Euler时代的Euler公式，其自变量x是实数。

之后，随着复平面、复数的向量表示逐渐被人接受，人们开始倾向于接受复数是一种数，而不仅仅是一种解方程的技巧。

在复数的系统化中，做出最大贡献的，当属Augustin-Louis Cauchy。

具体到Euler公式，Cauchy针对复变函数的特性，定义了如下规则：

f(z)为一复变函数，且满足：

1.f(z)在复平面内处处解析。

2.f′(z)=f(z)。

3.当Im(z)=0时，f(z)=ex，其中x=Re(z)。

最终符合这一条件的函数为：

ex(cosy+isiny)

因此，复变Euler公式为：

ez=ex(cosy+isiny)

可见，与原始的Euler公式不同，复变Euler公式不是证明出来的，而是定义出来的。

总结

1.Cardano解三次方程发明虚数。

2.高次幂运算催生对数表。

3.对数表的编制过程中，发现了e。

4.Euler根据无穷数列展开式，发现Euler公式。

5.Cauchy定义了复变Euler公式。

参考：

《古今数学思想》

《不可思议的e》

傅里叶变换

f^(ξ)=∫+∞−∞f(x) e−2πixξdx

傅里叶变换是最基本的频域变换，这里不再赘述，只是提供一些有意思的图示。

正弦波的叠加（傅里叶级数）：

时域、频域、相位：

傅里叶级数与傅里叶变换：

欧拉公式：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

一道证明题

设A、B、C为任意可数有限集合，则

size(A−C)≤size(A−B)+size(B−C)

其中size(X)表示集合X中的元素个数。

证明：

A−C={x|x∈A∩x∉C}={x|x∈A∩(x∈B∪x∉B)∩x∉C}={x|(x∈A∩x∉B∩x∉C)∪(x∈A∩x∈B∩x∉C)}⊆{x|(x∈A∩x∉B)∪(x∈B∩x∉C)}=(A−B)∪(B−C)

又因为：size(X∪Y)≤size(X)+size(Y)，所以

size(A−C)≤size((A−B)∪(B−C))≤size(A−B)+size(B−C)